Precálculo Ejemplos

$\log_{7} (x^{2} - 11 x + 30) - \log_{7} (x^{2} - 36) + \log_{7} (x + 6)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x^{2} - 11 x + 30}{x^{2} - 36}) + \log_{7} (x + 6)$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (\frac{x^{2} - 11 x + 30}{x^{2} - 36} (x + 6))$

Paso 3

Factoriza $x^{2} - 11 x + 30$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $30$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 6, - 5$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x^{2} - 36} (x + 6))$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x^{2} - 6^{2}} (x + 6))$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{(x + 6) (x - 6)} (x + 6))$

Paso 5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{(x + 6) (x - 6)} (x + 6))$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x - 6})$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x - 6$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x - 6})$

Paso 5.2.2

Divide $x - 5$ por $1$ .

$\log_{7} (x - 5)$