Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (x - 4) + 2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log_{4} (x + 4) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \log_{4} (x + 4)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

Paso 2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x^{3} + 2 x^{2}) - 16 x - 32})$

Paso 2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})$

Paso 2.2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 2$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 16)})$

Paso 2.2.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 4^{2})})$

Paso 2.2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

Paso 2.3.2

Reescribe la expresión.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Paso 3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2} \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Paso 4

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 4.1

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2}$ .

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Paso 4.2

Factoriza $x + 4$ de $(x + 2) (x + 4)$ .

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

Paso 4.3

Cancela el factor común.

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

Paso 4.4

Reescribe la expresión.

$\log_{4} ((x + 4) \frac{1}{x + 2})$

Paso 5

Multiplica $x + 4$ por $\frac{1}{x + 2}$ .

$\log_{4} (\frac{x + 4}{x + 2})$