Precálculo Ejemplos

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} = 10$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{x} + 100 e^{- x} = 10 \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Multiplica $10$ por $2$ .

$e^{x} + 100 e^{- x} = 20$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$e^{x} + 100 {(e^{x})}^{- 1} = 20$

Paso 3.2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u + 100 u^{- 1} = 20$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 100 (\frac{1}{u}) = 20$

Paso 3.3.2

Combina $100$ y $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{100}{u} = 20$

Paso 3.4

Resuelve $u$

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Paso 3.4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 3.4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 3.4.2

Multiplica cada término en $u + \frac{100}{u} = 20$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica cada término en $u + \frac{100}{u} = 20$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{100}{u} u = 20 u$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Paso 3.4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 3.4.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Paso 3.4.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} + 100 = 20 u$

Paso 3.4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Resta $20 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 100 - 20 u = 0$

Paso 3.4.3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.4.3.2.1

Reorganiza los términos.

$u^{2} - 20 u + 100 = 0$

Paso 3.4.3.2.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$u^{2} - 20 u + 10^{2} = 0$

Paso 3.4.3.2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$20 u = 2 \cdot u \cdot 10$

Paso 3.4.3.2.4

Reescribe el polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 10 + 10^{2} = 0$

Paso 3.4.3.2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 10$ .

${(u - 10)}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.3

Establece $u - 10$ igual a $0$ .

$u - 10 = 0$

Paso 3.4.3.4

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 10$

Paso 3.5

Sustituye $10$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$10 = e^{x}$

Paso 3.6

Resuelve $10 = e^{x}$ .

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 10$ .

$e^{x} = 10$

Paso 3.6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (10)$

Paso 3.6.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (10)$

Paso 3.6.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (10)$

Paso 3.6.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (10)$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (10)$

Forma decimal:

$x = 2.30258509 \dots$