Precálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x}{x - 3}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{2 y}{y - 3}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Multiplica la ecuación por $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 3 x = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - 3 x = \frac{2 y}{y - 3} (y - 3)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - 3 x = 2 y$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - 3 x - 2 y = 0$

Paso 2.4.2

Suma $3 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - 2 y = 3 x$

Paso 2.4.3

Factoriza $y$ de $y x - 2 y$ .

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - 2 y = 3 x$

Paso 2.4.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 3 x$

Paso 2.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 3 x$

Paso 2.4.4

Divide cada término en $y (x - 2) = 3 x$ por $x - 2$ y simplifica.

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Paso 2.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 2) = 3 x$ por $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

Paso 2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

Paso 2.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 x}{x - 2}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 3})}{(\frac{2 x}{x - 3}) - 2}$

Paso 4.2.3

Combina $3$ y $\frac{2 x}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2}$

Paso 4.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2 \cdot \frac{x - 3}{x - 3}}$

Paso 4.2.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} + \frac{- 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Paso 4.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Paso 4.2.4.4

Reescribe $\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $2 x - 2 (x - 3)$ .

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Paso 4.2.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Paso 4.2.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 (x - 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 3))}{x - 3}}$

Paso 4.2.4.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- (x - 3))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - (x - 3))}{x - 3}}$

Paso 4.2.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

Paso 4.2.4.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

Paso 4.2.4.4.4

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{x - 3}}$

Paso 4.2.4.4.5

Suma $0$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{x - 3}}$

Paso 4.2.4.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

Paso 4.2.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

Paso 4.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Paso 4.2.7

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.2.7.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Paso 4.2.7.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Paso 4.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Paso 4.2.8

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 4.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Paso 4.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{3 x}{x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{x - 2})}{(\frac{3 x}{x - 2}) - 3}$

Paso 4.3.3

Combina $2$ y $\frac{3 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Paso 4.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.4.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Paso 4.3.4.2

Combina $- 3$ y $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Paso 4.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Paso 4.3.4.4

Reescribe $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ en forma factorizada.

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Paso 4.3.4.4.1

Factoriza $3$ de $3 x - 3 (x - 2)$ .

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Paso 4.3.4.4.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Paso 4.3.4.4.1.2

Factoriza $3$ de $- 3 (x - 2)$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Paso 4.3.4.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Paso 4.3.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Paso 4.3.4.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Paso 4.3.4.4.4

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

Paso 4.3.4.4.5

Suma $0$ y $2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

Paso 4.3.4.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

Paso 4.3.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

Paso 4.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.3.7.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Paso 4.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Paso 4.3.8

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 4.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Paso 4.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$