Precálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} - 4 y^{2}) - 2 \ln (x - 2 y) - \ln (7)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} - 4 y^{2}}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$\ln (\frac{x^{2} - {(2 y)}^{2}}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2 y$ .

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - (2 y))}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Paso 2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Paso 2.2

Simplifica $- 2 \ln (x - 2 y)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7}) - \ln ({(x - 2 y)}^{2})$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7}}{{(x - 2 y)}^{2}})$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7} \cdot \frac{1}{{(x - 2 y)}^{2}})$

Paso 5

Combinar.

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y) \cdot 1}{7 {(x - 2 y)}^{2}})$

Paso 6

Cancela el factor común de $x - 2 y$ y ${(x - 2 y)}^{2}$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x - 2 y$ de $(x + 2 y) (x - 2 y) \cdot 1$ .

$\ln (\frac{(x - 2 y) ((x + 2 y) \cdot 1)}{7 {(x - 2 y)}^{2}})$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Factoriza $x - 2 y$ de $7 {(x - 2 y)}^{2}$ .

$\ln (\frac{(x - 2 y) ((x + 2 y) \cdot 1)}{(x - 2 y) (7 (x - 2 y))})$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{(x - 2 y) ((x + 2 y) \cdot 1)}{(x - 2 y) (7 (x - 2 y))})$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{(x + 2 y) \cdot 1}{7 (x - 2 y)})$

Paso 7

Multiplica $x + 2 y$ por $1$ .

$\ln (\frac{x + 2 y}{7 (x - 2 y)})$