Precálculo Ejemplos

$\log (x - 2) + \log (x + 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Expande $(x - 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 2$ y $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Paso 2.2.2

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Paso 2.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Paso 2.3.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\log (x^{2} - 4) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Paso 2.4

Simplifica $- 0.5 \log (x^{2} + 4)$ al mover $0.5$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{2} - 4) - \log ({(x^{2} + 4)}^{0.5})$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 4}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 2^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$