Precálculo Ejemplos

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (\sqrt{27})}$

Paso 1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (\sqrt{9 (3)})}$

Paso 1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (\sqrt{3^{2} \cdot 3})}$

Paso 2

Retira los términos de abajo del radical.

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (3 \sqrt{3})}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (3 \sqrt{3})}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{2}{3} \ln (3 \sqrt{3})}$

Paso 3.2

Simplifica $\frac{2}{3} \ln (3 \sqrt{3})$ al mover $\frac{2}{3}$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({(3 \sqrt{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{3}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 3.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$ como $\sqrt[3]{3}$ .

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} {(3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}})}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{2 \cdot 3}})}$

Paso 3.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{6}})}$

Paso 3.4.5

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 3.4.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2 (1)}{6}})}$

Paso 3.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})}$

Paso 3.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})}$

Paso 3.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}})}$

Paso 3.4.6

Reescribe $3^{\frac{1}{3}}$ como $\sqrt[3]{3}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3})}$

Paso 3.5

Multiplica $3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}$ .

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3}$ como $3^{\frac{1}{3}}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}})}$

Paso 3.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}})}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{\ln (3^{\frac{2 + 1}{3}})}$

Paso 3.5.4

Suma $2$ y $1$ .

$e^{\ln (3^{\frac{3}{3}})}$

Paso 3.5.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.5.1

Cancela el factor común.

$e^{\ln (3^{\frac{3}{3}})}$

Paso 3.5.5.2

Reescribe la expresión.

$e^{\ln (3^{1})}$

Paso 3.6

Evalúa el exponente.

$e^{\ln (3)}$

Paso 4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$3$