Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{4} \cdot (3 \ln (x + 2) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 81))$

Paso 1

Simplifica $3 \ln (x + 2)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{4} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{3}) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 81))$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \cdot (\ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x}) - \ln (x^{2} - 81))$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 2)}^{3}}{x}}{x^{2} - 81})$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 81})$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 9^{2}})$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{(x + 9) (x - 9)})$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Combinar.

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3} \cdot 1}{x ((x + 9) (x - 9))})$

Paso 6.2

Multiplica ${(x + 2)}^{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x ((x + 9) (x - 9))})$

Paso 7

Simplifica $\frac{1}{4} \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 9) (x - 9)})$ al mover $\frac{1}{4}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 9) (x - 9)})}^{\frac{1}{4}})$

Paso 8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.1

Aplica la regla del producto a $\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 9) (x - 9)}$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{{(x (x + 9) (x - 9))}^{\frac{1}{4}}})$

Paso 8.2

Aplica la regla del producto a $x (x + 9) (x - 9)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{{(x (x + 9))}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$

Paso 8.3

Aplica la regla del producto a $x (x + 9)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} {(x + 9)}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$

Paso 9

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{3 (\frac{1}{4})}}{x^{\frac{1}{4}} {(x + 9)}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$

Paso 9.2

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} {(x + 9)}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$