Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 3)}^{2}) + \log (x^{2}) - \log (x^{2} - 2 x - 15)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 3)}^{2}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Simplifica $\frac{1}{3} \log ({(x + 3)}^{2})$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$\log ({({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log ({(x + 3)}^{2 (\frac{1}{3})}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Paso 2.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 2.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

Paso 3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

Paso 4

Combina ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$ .

$\log (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

Paso 5

Mueve ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}})$

Paso 6

Multiplica $x + 3$ por ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) ({(x + 3)}^{- \frac{2}{3}} (x + 3))})$

Paso 6.2

Multiplica ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ por $x + 3$ .

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Paso 6.2.1

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) ({(x + 3)}^{- \frac{2}{3}} {(x + 3)}^{1})})$

Paso 6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3} + 1}})$

Paso 6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}})$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{- 2 + 3}{3}}})$

Paso 6.5

Suma $- 2$ y $3$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$

Paso 7

Reordena los factores en $\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$ .

$\log (\frac{x^{2}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (x - 5)})$