Precálculo Ejemplos

$\log (2 x - 2) + \log (x - 6) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((2 x - 2) (x - 6)) = 2$

Paso 1.2

Expande $(2 x - 2) (x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (2 x (x - 6) - 2 (x - 6)) = 2$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 2 (x - 6)) = 2$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Paso 1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (2 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\log (2 x^{2} - 12 x - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 6$ .

$\log (2 x^{2} - 12 x - 2 x + 12) = 2$

Paso 1.3.2

Resta $2 x$ de $- 12 x$ .

$\log (2 x^{2} - 14 x + 12) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log (2 x^{2} - 14 x + 12) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 2 x^{2} - 14 x + 12$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{2} - 14 x + 12 = 10^{2}$ .

$2 x^{2} - 14 x + 12 = 10^{2}$

Paso 3.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 12 = 100$

Paso 3.3

Resta $100$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 14 x + 12 - 100 = 0$

Paso 3.4

Resta $100$ de $12$ .

$2 x^{2} - 14 x - 88 = 0$

Paso 3.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 14 x - 88$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 14 x - 88 = 0$

Paso 3.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 14 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 7 x) - 88 = 0$

Paso 3.5.1.3

Factoriza $2$ de $- 88$ .

$2 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 44 = 0$

Paso 3.5.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 7 x)$ .

$2 (x^{2} - 7 x) + 2 \cdot - 44 = 0$

Paso 3.5.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 7 x) + 2 \cdot - 44$ .

$2 (x^{2} - 7 x - 44) = 0$

Paso 3.5.2

Factoriza.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x^{2} - 7 x - 44$ con el método AC.

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Paso 3.5.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 44$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 11, 4$

Paso 3.5.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x - 11) (x + 4)) = 0$

Paso 3.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 11) (x + 4) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 11 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 3.7

Establece $x - 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x - 11$ igual a $0$ .

$x - 11 = 0$

Paso 3.7.2

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 11$

Paso 3.8

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.8.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 11) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 11, - 4$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (2 x - 2) + \log (x - 6) = 2$ sea verdadera.

$x = 11$