Precálculo Ejemplos

$\log_{8} (5^{5} \sqrt{12})$

Paso 1

Reescribe $\log_{8} (5^{5} \sqrt{12})$ como $\log_{8} (5^{5}) + \log_{8} (\sqrt{12})$ .

$\log_{8} (5^{5}) + \log_{8} (\sqrt{12})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{12}$ como $12^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{8} (5^{5}) + \log_{8} (12^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Expande $\log_{8} (5^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$5 \log_{8} (5) + \log_{8} (12^{\frac{1}{2}})$

Paso 4

Expande $\log_{8} (12^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$5 \log_{8} (5) + \frac{1}{2} \log_{8} (12)$

Paso 5

Reescribe $\log_{8} (12)$ como $\log_{8} (2^{2} \cdot 3)$ .

$5 \log_{8} (5) + \frac{1}{2} \log_{8} (2^{2} \cdot 3)$

Paso 6

Reescribe $\log_{8} (2^{2} \cdot 3)$ como $\log_{8} (2^{2}) + \log_{8} (3)$ .

$5 \log_{8} (5) + \frac{1}{2} (\log_{8} (2^{2}) + \log_{8} (3))$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Expande $\log_{8} (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$5 \log_{8} (5) + \frac{1}{2} (2 \log_{8} (2) + \log_{8} (3))$

Paso 7.2

El logaritmo en base $8$ de $2$ es $\frac{1}{3}$ .

$5 \log_{8} (5) + \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{3}) + \log_{8} (3))$

Paso 7.3

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$5 \log_{8} (5) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} + \log_{8} (3))$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \log_{8} (5) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \log_{8} (3)$

Paso 9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$5 \log_{8} (5) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \log_{8} (3)$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$5 \log_{8} (5) + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \log_{8} (3)$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{8} (3)$ .

$5 \log_{8} (5) + \frac{1}{3} + \frac{\log_{8} (3)}{2}$