Precálculo Ejemplos

$\log_{8} (\frac{\sqrt[5]{x^{2} - 3}}{\sqrt[4]{9 + x^{2}}})$

Paso 1

Reescribe $\log_{8} (\frac{\sqrt[5]{x^{2} - 3}}{\sqrt[4]{9 + x^{2}}})$ como $\log_{8} (\sqrt[5]{x^{2} - 3}) - \log_{8} (\sqrt[4]{9 + x^{2}})$ .

$\log_{8} (\sqrt[5]{x^{2} - 3}) - \log_{8} (\sqrt[4]{9 + x^{2}})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{2} - 3}$ como ${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\log_{8} ({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{5}}) - \log_{8} (\sqrt[4]{9 + x^{2}})$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{9 + x^{2}}$ como ${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{8} ({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{5}}) - \log_{8} ({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{4}})$

Paso 4

Expande $\log_{8} ({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{5}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{5}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} \log_{8} (x^{2} - 3) - \log_{8} ({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{4}})$

Paso 5

Expande $\log_{8} ({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{4}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{4}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} \log_{8} (x^{2} - 3) - (\frac{1}{4} \log_{8} (9 + x^{2}))$

Paso 6

Combina $\frac{1}{4}$ y $\log_{8} (9 + x^{2})$ .

$\frac{1}{5} \log_{8} (x^{2} - 3) - \frac{\log_{8} (9 + x^{2})}{4}$

Paso 7

Combina $\frac{1}{5}$ y $\log_{8} (x^{2} - 3)$ .

$\frac{\log_{8} (x^{2} - 3)}{5} - \frac{\log_{8} (9 + x^{2})}{4}$

Paso 8

Para escribir $\frac{\log_{8} (x^{2} - 3)}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\log_{8} (x^{2} - 3)}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{\log_{8} (9 + x^{2})}{4}$

Paso 9

Para escribir $- \frac{\log_{8} (9 + x^{2})}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\log_{8} (x^{2} - 3)}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{\log_{8} (9 + x^{2})}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 10

Escribe cada expresión con un denominador común de $20$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{\log_{8} (x^{2} - 3)}{5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\log_{8} (x^{2} - 3) \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{\log_{8} (9 + x^{2})}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 10.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{\log_{8} (x^{2} - 3) \cdot 4}{20} - \frac{\log_{8} (9 + x^{2})}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{\log_{8} (9 + x^{2})}{4}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\log_{8} (x^{2} - 3) \cdot 4}{20} - \frac{\log_{8} (9 + x^{2}) \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Paso 10.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{\log_{8} (x^{2} - 3) \cdot 4}{20} - \frac{\log_{8} (9 + x^{2}) \cdot 5}{20}$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log_{8} (x^{2} - 3) \cdot 4 - \log_{8} (9 + x^{2}) \cdot 5}{20}$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Mueve $4$ a la izquierda de $\log_{8} (x^{2} - 3)$ .

$\frac{4 \cdot \log_{8} (x^{2} - 3) - \log_{8} (9 + x^{2}) \cdot 5}{20}$

Paso 12.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{4 \log_{8} (x^{2} - 3) - 5 \log_{8} (9 + x^{2})}{20}$