Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (\frac{125 x (\sqrt{x + 1})}{{(x - 3)}^{4}})$

Paso 1

Reescribe $\log_{5} (\frac{125 x (\sqrt{x + 1})}{{(x - 3)}^{4}})$ como $\log_{5} (125 x (\sqrt{x + 1})) - \log_{5} ({(x - 3)}^{4})$ .

$\log_{5} (125 x (\sqrt{x + 1})) - \log_{5} ({(x - 3)}^{4})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (125 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} ({(x - 3)}^{4})$

Paso 3

Expande $\log_{5} ({(x - 3)}^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\log_{5} (125 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - (4 \log_{5} (x - 3))$

Paso 4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\log_{5} (125 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Paso 5

Reescribe $\log_{5} (125 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ como $\log_{5} (125 x) + \log_{5} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\log_{5} (125 x) + \log_{5} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Paso 6

Reescribe $\log_{5} (125 x)$ como $\log_{5} (125) + \log_{5} (x)$ .

$\log_{5} (125) + \log_{5} (x) + \log_{5} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Paso 7

Expande $\log_{5} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\log_{5} (125) + \log_{5} (x) + \frac{1}{2} \log_{5} (x + 1) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Paso 8

El logaritmo en base $5$ de $125$ es $3$ .

$3 + \log_{5} (x) + \frac{1}{2} \log_{5} (x + 1) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{5} (x + 1)$ .

$3 + \log_{5} (x) + \frac{\log_{5} (x + 1)}{2} - 4 \log_{5} (x - 3)$

Paso 10

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{5} (x + 1)}{2} + \log_{5} (x) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Paso 11

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{\log_{5} (x + 1)}{2} + \log_{5} (x) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \cdot 2 + \log_{5} (x + 1)}{2} + \log_{5} (x) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Paso 13

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 + \log_{5} (x + 1)}{2} + \log_{5} (x) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Paso 14

Para escribir $- 4 \log_{5} (x - 3)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 + \log_{5} (x + 1)}{2} - 4 \log_{5} (x - 3) \cdot \frac{2}{2} + \log_{5} (x)$

Paso 15

Combina $- 4 \log_{5} (x - 3)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 + \log_{5} (x + 1)}{2} + \frac{- 4 \log_{5} (x - 3) \cdot 2}{2} + \log_{5} (x)$

Paso 16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 + \log_{5} (x + 1) - 4 \log_{5} (x - 3) \cdot 2}{2} + \log_{5} (x)$

Paso 17

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{6 + \log_{5} (x + 1) - 8 \log_{5} (x - 3)}{2} + \log_{5} (x)$