Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (3 \sqrt{\frac{x^{2} y}{25}})$

Paso 1

Reescribe $\log_{5} (3 \sqrt{\frac{x^{2} y}{25}})$ como $\log_{5} (3) + \log_{5} (\sqrt{\frac{x^{2} y}{25}})$ .

$\log_{5} (3) + \log_{5} (\sqrt{\frac{x^{2} y}{25}})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x^{2} y}{25}}$ como ${(\frac{x^{2} y}{25})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (3) + \log_{5} ({(\frac{x^{2} y}{25})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Expande $\log_{5} ({(\frac{x^{2} y}{25})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\log_{5} (3) + \frac{1}{2} \log_{5} (\frac{x^{2} y}{25})$

Paso 4

Reescribe $\log_{5} (\frac{x^{2} y}{25})$ como $\log_{5} (x^{2} y) - \log_{5} (25)$ .

$\log_{5} (3) + \frac{1}{2} (\log_{5} (x^{2} y) - \log_{5} (25))$

Paso 5

El logaritmo en base $5$ de $25$ es $2$ .

$\log_{5} (3) + \frac{1}{2} (\log_{5} (x^{2} y) - 1 \cdot 2)$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\log_{5} (3) + \frac{1}{2} (\log_{5} (x^{2} y) - 2)$

Paso 7

Reescribe $\log_{5} (x^{2} y)$ como $\log_{5} (x^{2}) + \log_{5} (y)$ .

$\log_{5} (3) + \frac{1}{2} (\log_{5} (x^{2}) + \log_{5} (y) - 2)$

Paso 8

Expande $\log_{5} (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\log_{5} (3) + \frac{1}{2} (2 \log_{5} (x) + \log_{5} (y) - 2)$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (3) + \frac{1}{2} (2 \log_{5} (x)) + \frac{1}{2} \log_{5} (y) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 \log_{5} (x)$ .

$\log_{5} (3) + \frac{1}{2} (2 (\log_{5} (x))) + \frac{1}{2} \log_{5} (y) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Paso 9.2.1.2

Cancela el factor común.

$\log_{5} (3) + \frac{1}{2} (2 \log_{5} (x)) + \frac{1}{2} \log_{5} (y) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Paso 9.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (3) + \log_{5} (x) + \frac{1}{2} \log_{5} (y) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Paso 9.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{5} (y)$ .

$\log_{5} (3) + \log_{5} (x) + \frac{\log_{5} (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\log_{5} (3) + \log_{5} (x) + \frac{\log_{5} (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Paso 9.2.3.2

Cancela el factor común.

$\log_{5} (3) + \log_{5} (x) + \frac{\log_{5} (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 9.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (3) + \log_{5} (x) + \frac{\log_{5} (y)}{2} - 1$