Precálculo Ejemplos

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2} + 24 x + 21$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $3$ de $24 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $3$ de $21$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Paso 1.1.1.5

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{2} - 8 x + 7$ con el método AC.

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Paso 1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $7$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 7, - 1$

Paso 1.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{(x - 7) (x - 1)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 7}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 7) (x - 1)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x - 7$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.6.2

Divide $3 (- x^{2} + 8 x + 7)$ por $1$ .

$3 (- x^{2} + 8 x + 7) = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.8.2

Multiplica $8$ por $3$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.8.3

Multiplica $3$ por $7$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1

Cancela el factor común de $x - 7$ .

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Paso 1.9.1.1

Cancela el factor común.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{A (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.9.1.2

Divide $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.9.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.9.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.9.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.9.5.1

Cancela el factor común.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.9.5.2

Divide $(B) (x - 7)$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + (B) (x - 7)$

Paso 1.9.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x + B \cdot - 7$

Paso 1.9.7

Mueve $- 7$ a la izquierda de $B$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x - 7 B$

Paso 1.10

Mueve $- A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + B x - A - 7 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$24 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$21 = - 1 A - 7 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $24 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 24$ .

$A + B = 24$

$21 = - 1 A - 7 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $24 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $21 = - 1 A - 7 B$ por $24 - B$ .

$21 = - 1 (24 - B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 1 (24 - B) - 7 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$21 = - 1 \cdot 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$21 = - 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 3.2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$21 = - 24 + 1 B - 7 B$

$A = 24 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $7 B$ de $B$ .

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $21 = - 24 - 6 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 24 - 6 B = 21$ .

$- 24 - 6 B = 21$

$A = 24 - B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$- 6 B = 21 + 24$

$A = 24 - B$

Paso 3.3.2.2

Suma $21$ y $24$ .

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 6 B = 45$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 6 B = 45$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Cancela el factor común de $45$ y $- 6$ .

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Paso 3.3.3.3.1.1

Factoriza $3$ de $45$ .

$B = \frac{3 (15)}{- 6}$

$A = 24 - B$

Paso 3.3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

Paso 3.3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

Paso 3.3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

Paso 3.3.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- \frac{15}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 24 - B$ por $- \frac{15}{2}$ .

$A = 24 - (- \frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $24 - (- \frac{15}{2})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- (- \frac{15}{2})$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 24 + 1 (\frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $\frac{15}{2}$ por $1$ .

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Para escribir $24$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$A = 24 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Combina $24$ y $\frac{2}{2}$ .

$A = \frac{24 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Paso 3.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{24 \cdot 2 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Paso 3.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.5.1

Multiplica $24$ por $2$ .

$A = \frac{48 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Paso 3.4.2.1.5.2

Suma $48$ y $15$ .

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{63}{2}, B = - \frac{15}{2}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{63}{2}}{x - 7} + \frac{- \frac{15}{2}}{x - 1}$