Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (\frac{5 \sqrt[8]{x - 5}}{27 x^{9}})$

Paso 1

Reescribe $\log_{3} (\frac{5 \sqrt[8]{x - 5}}{27 x^{9}})$ como $\log_{3} (5 \sqrt[8]{x - 5}) - \log_{3} (27 x^{9})$ .

$\log_{3} (5 \sqrt[8]{x - 5}) - \log_{3} (27 x^{9})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[8]{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{\frac{1}{8}}$ .

$\log_{3} (5 {(x - 5)}^{\frac{1}{8}}) - \log_{3} (27 x^{9})$

Paso 3

Reescribe $\log_{3} (5 {(x - 5)}^{\frac{1}{8}})$ como $\log_{3} (5) + \log_{3} ({(x - 5)}^{\frac{1}{8}})$ .

$\log_{3} (5) + \log_{3} ({(x - 5)}^{\frac{1}{8}}) - \log_{3} (27 x^{9})$

Paso 4

Expande $\log_{3} ({(x - 5)}^{\frac{1}{8}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{8}$ fuera del logaritmo.

$\log_{3} (5) + \frac{1}{8} \log_{3} (x - 5) - \log_{3} (27 x^{9})$

Paso 5

Reescribe $\log_{3} (27 x^{9})$ como $\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{9})$ .

$\log_{3} (5) + \frac{1}{8} \log_{3} (x - 5) - (\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{9}))$

Paso 6

Expande $\log_{3} (x^{9})$ ; para ello, mueve $9$ fuera del logaritmo.

$\log_{3} (5) + \frac{1}{8} \log_{3} (x - 5) - (\log_{3} (27) + 9 \log_{3} (x))$

Paso 7

El logaritmo en base $3$ de $27$ es $3$ .

$\log_{3} (5) + \frac{1}{8} \log_{3} (x - 5) - (3 + 9 \log_{3} (x))$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $\log_{3} (x - 5)$ .

$\log_{3} (5) + \frac{\log_{3} (x - 5)}{8} - (3 + 9 \log_{3} (x))$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (5) + \frac{\log_{3} (x - 5)}{8} - 1 \cdot 3 - (9 \log_{3} (x))$

Paso 8.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\log_{3} (5) + \frac{\log_{3} (x - 5)}{8} - 3 - (9 \log_{3} (x))$

Paso 8.4

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\log_{3} (5) + \frac{\log_{3} (x - 5)}{8} - 3 - 9 \log_{3} (x)$

Paso 9

Para escribir $\log_{3} (5)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\log_{3} (5) \cdot \frac{8}{8} + \frac{\log_{3} (x - 5)}{8} - 3 - 9 \log_{3} (x)$

Paso 10

Combina $\log_{3} (5)$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\log_{3} (5) \cdot 8}{8} + \frac{\log_{3} (x - 5)}{8} - 3 - 9 \log_{3} (x)$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log_{3} (5) \cdot 8 + \log_{3} (x - 5)}{8} - 3 - 9 \log_{3} (x)$

Paso 12

Mueve $8$ a la izquierda de $\log_{3} (5)$ .

$\frac{8 \log_{3} (5) + \log_{3} (x - 5)}{8} - 3 - 9 \log_{3} (x)$