Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (\frac{y^{3}}{100 \sqrt[3]{x}})$

Paso 1

Reescribe $\log_{3} (\frac{y^{3}}{100 \sqrt[3]{x}})$ como $\log_{3} (y^{3}) - \log_{3} (100 \sqrt[3]{x})$ .

$\log_{3} (y^{3}) - \log_{3} (100 \sqrt[3]{x})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{3} (y^{3}) - \log_{3} (100 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 3

Expande $\log_{3} (y^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$3 \log_{3} (y) - \log_{3} (100 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 4

Reescribe $\log_{3} (100 x^{\frac{1}{3}})$ como $\log_{3} (100) + \log_{3} (x^{\frac{1}{3}})$ .

$3 \log_{3} (y) - (\log_{3} (100) + \log_{3} (x^{\frac{1}{3}}))$

Paso 5

Expande $\log_{3} (x^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$3 \log_{3} (y) - (\log_{3} (100) + \frac{1}{3} \log_{3} (x))$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Reescribe $\log_{3} (100)$ como $\log_{3} (2^{2} \cdot 5^{2})$ .

$3 \log_{3} (y) - (\log_{3} (2^{2} \cdot 5^{2}) + \frac{1}{3} \log_{3} (x))$

Paso 6.1.2

Reescribe $\log_{3} (2^{2} \cdot 5^{2})$ como $\log_{3} (2^{2}) + \log_{3} (5^{2})$ .

$3 \log_{3} (y) - (\log_{3} (2^{2}) + \log_{3} (5^{2}) + \frac{1}{3} \log_{3} (x))$

Paso 6.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.3.1

Expande $\log_{3} (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$3 \log_{3} (y) - (2 \log_{3} (2) + \log_{3} (5^{2}) + \frac{1}{3} \log_{3} (x))$

Paso 6.1.3.2

Expande $\log_{3} (5^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$3 \log_{3} (y) - (2 \log_{3} (2) + 2 \log_{3} (5) + \frac{1}{3} \log_{3} (x))$

Paso 6.1.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log_{3} (x)$ .

$3 \log_{3} (y) - (2 \log_{3} (2) + 2 \log_{3} (5) + \frac{\log_{3} (x)}{3})$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \log_{3} (y) - (2 \log_{3} (2)) - (2 \log_{3} (5)) - \frac{\log_{3} (x)}{3}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 \log_{3} (y) - 2 \log_{3} (2) - (2 \log_{3} (5)) - \frac{\log_{3} (x)}{3}$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 \log_{3} (y) - 2 \log_{3} (2) - 2 \log_{3} (5) - \frac{\log_{3} (x)}{3}$