Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (80) \log_{2} (10)$

Paso 1

Reescribe $\log_{2} (80)$ como $\log_{2} (2^{4} \cdot 5)$ .

$\log_{2} (2^{4} \cdot 5) \log_{2} (10)$

Paso 2

Reescribe $\log_{2} (2^{4} \cdot 5)$ como $\log_{2} (2^{4}) + \log_{2} (5)$ .

$(\log_{2} (2^{4}) + \log_{2} (5)) \log_{2} (10)$

Paso 3

Usa las reglas de logaritmos para mover $4$ fuera del exponente.

$(4 \log_{2} (2) + \log_{2} (5)) \log_{2} (10)$

Paso 4

El logaritmo en base $2$ de $2$ es $1$ .

$(4 \cdot 1 + \log_{2} (5)) \log_{2} (10)$

Paso 5

Multiplica $4$ por $1$ .

$(4 + \log_{2} (5)) \log_{2} (10)$

Paso 6

Reescribe $\log_{2} (10)$ como $\log_{2} (2 (5))$ .

$(4 + \log_{2} (5)) \log_{2} (2 (5))$

Paso 7

Reescribe $\log_{2} (2 (5))$ como $\log_{2} (2) + \log_{2} (5)$ .

$(4 + \log_{2} (5)) (\log_{2} (2) + \log_{2} (5))$

Paso 8

El logaritmo en base $2$ de $2$ es $1$ .

$(4 + \log_{2} (5)) (1 + \log_{2} (5))$

Paso 9

Expande $(4 + \log_{2} (5)) (1 + \log_{2} (5))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (1 + \log_{2} (5)) + \log_{2} (5) (1 + \log_{2} (5))$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 \log_{2} (5) + \log_{2} (5) (1 + \log_{2} (5))$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 \log_{2} (5) + \log_{2} (5) \cdot 1 + \log_{2} (5) \log_{2} (5)$

Paso 10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 \log_{2} (5) + \log_{2} (5) \cdot 1 + \log_{2} (5) \log_{2} (5)$

Paso 10.1.2

Multiplica $\log_{2} (5)$ por $1$ .

$4 + 4 \log_{2} (5) + \log_{2} (5) + \log_{2} (5) \log_{2} (5)$

Paso 10.1.3

Multiplica $\log_{2} (5) \log_{2} (5)$ .

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Paso 10.1.3.1

Eleva $\log_{2} (5)$ a la potencia de $1$ .

$4 + 4 \log_{2} (5) + \log_{2} (5) + {\log_{2}}^{1} (5) \log_{2} (5)$

Paso 10.1.3.2

Eleva $\log_{2} (5)$ a la potencia de $1$ .

$4 + 4 \log_{2} (5) + \log_{2} (5) + {\log_{2}}^{1} (5) {\log_{2}}^{1} (5)$

Paso 10.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 + 4 \log_{2} (5) + \log_{2} (5) + {\log_{2} (5)}^{1 + 1}$

Paso 10.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 + 4 \log_{2} (5) + \log_{2} (5) + {\log_{2}}^{2} (5)$

Paso 10.2

Suma $4 \log_{2} (5)$ y $\log_{2} (5)$ .

$4 + 5 \log_{2} (5) + {\log_{2}}^{2} (5)$