Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (\frac{\sqrt{27 x^{5}}}{\sqrt[4]{9 y^{3}}})$

Paso 1

Reescribe $\log_{3} (\frac{\sqrt{27 x^{5}}}{\sqrt[4]{9 y^{3}}})$ como $\log_{3} (\sqrt{27 x^{5}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$ .

$\log_{3} (\sqrt{27 x^{5}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{27 x^{5}}$ como ${(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{9 y^{3}}$ como ${(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$

Paso 4

Expande $\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - \log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$

Paso 5

Expande $\log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{4}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - (\frac{1}{4} \log_{3} (9 y^{3}))$

Paso 6

Combina $\frac{1}{4}$ y $\log_{3} (9 y^{3})$ .

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Paso 7

Reescribe $\log_{3} (27 x^{5})$ como $\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{5})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{5})) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Paso 8

Expande $\log_{3} (x^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log_{3} (27) + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Paso 9

El logaritmo en base $3$ de $27$ es $3$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Paso 10

Reescribe $\log_{3} (9 y^{3})$ como $\log_{3} (9) + \log_{3} (y^{3})$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9) + \log_{3} (y^{3})}{4}$

Paso 11

Expande $\log_{3} (y^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9) + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Paso 12

El logaritmo en base $3$ de $9$ es $2$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Paso 13

Simplifica cada término.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} (5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Paso 13.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2} (5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Paso 13.3

Multiplica $\frac{1}{2} (5 \log_{3} (x))$ .

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Paso 13.3.1

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{5}{2} \log_{3} (x) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Paso 13.3.2

Combina $\frac{5}{2}$ y $\log_{3} (x)$ .

$\frac{3}{2} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Paso 14

Para escribir $\frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Paso 15

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Paso 15.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Paso 16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \cdot 2 - (2 + 3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Paso 17

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 - (2 + 3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Paso 18

Simplifica el numerador.

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 - 1 \cdot 2 - (3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Paso 18.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{6 - 2 - (3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Paso 18.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Paso 18.4

Resta $2$ de $6$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Paso 19

Para escribir $\frac{5 \log_{3} (x)}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 20

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 20.1

Multiplica $\frac{5 \log_{3} (x)}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x) \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 20.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x) \cdot 2}{4}$

Paso 21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y) + 5 \log_{3} (x) \cdot 2}{4}$

Paso 22

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y) + 10 \log_{3} (x)}{4}$