Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{16 (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3)}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{\frac{16 (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3)}}$ como ${(\frac{16 (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3)})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} ({(\frac{16 (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3)})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 2

Expande $\log_{2} ({(\frac{16 (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3)})}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} \log_{2} (\frac{16 (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3)})$

Paso 3

Reescribe $\log_{2} (\frac{16 (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3)})$ como $\log_{2} (16 (x + 1)) - \log_{2} ((x^{2} + 9) (x + 3))$ .

$\frac{1}{3} (\log_{2} (16 (x + 1)) - \log_{2} ((x^{2} + 9) (x + 3)))$

Paso 4

Reescribe $\log_{2} (16 (x + 1))$ como $\log_{2} (16) + \log_{2} (x + 1)$ .

$\frac{1}{3} (\log_{2} (16) + \log_{2} (x + 1) - \log_{2} ((x^{2} + 9) (x + 3)))$

Paso 5

El logaritmo en base $2$ de $16$ es $4$ .

$\frac{1}{3} (4 + \log_{2} (x + 1) - \log_{2} ((x^{2} + 9) (x + 3)))$

Paso 6

Reescribe $\log_{2} ((x^{2} + 9) (x + 3))$ como $\log_{2} (x^{2} + 9) + \log_{2} (x + 3)$ .

$\frac{1}{3} (4 + \log_{2} (x + 1) - (\log_{2} (x^{2} + 9) + \log_{2} (x + 3)))$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (4 + \log_{2} (x + 1) - \log_{2} (x^{2} + 9) - \log_{2} (x + 3))$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} \log_{2} (x + 1) + \frac{1}{3} (- \log_{2} (x^{2} + 9)) + \frac{1}{3} (- \log_{2} (x + 3))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $4$ .

$\frac{4}{3} + \frac{1}{3} \log_{2} (x + 1) + \frac{1}{3} (- \log_{2} (x^{2} + 9)) + \frac{1}{3} (- \log_{2} (x + 3))$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log_{2} (x + 1)$ .

$\frac{4}{3} + \frac{\log_{2} (x + 1)}{3} + \frac{1}{3} (- \log_{2} (x^{2} + 9)) + \frac{1}{3} (- \log_{2} (x + 3))$

Paso 9.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log_{2} (x^{2} + 9)$ .

$\frac{4}{3} + \frac{\log_{2} (x + 1)}{3} - \frac{\log_{2} (x^{2} + 9)}{3} + \frac{1}{3} (- \log_{2} (x + 3))$

Paso 9.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log_{2} (x + 3)$ .

$\frac{4}{3} + \frac{\log_{2} (x + 1)}{3} - \frac{\log_{2} (x^{2} + 9)}{3} - \frac{\log_{2} (x + 3)}{3}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 + \log_{2} (x + 1)}{3} - \frac{\log_{2} (x^{2} + 9)}{3} - \frac{\log_{2} (x + 3)}{3}$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 + \log_{2} (x + 1) - \log_{2} (x^{2} + 9)}{3} - \frac{\log_{2} (x + 3)}{3}$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 + \log_{2} (x + 1) - \log_{2} (x^{2} + 9) - \log_{2} (x + 3)}{3}$