Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (\sqrt{\frac{x y^{4}}{z^{4}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x y^{4}}{z^{4}}}$ como ${(\frac{x y^{4}}{z^{4}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} ({(\frac{x y^{4}}{z^{4}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Expande $\log_{2} ({(\frac{x y^{4}}{z^{4}})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{2} (\frac{x y^{4}}{z^{4}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{2} (\frac{x y^{4}}{z^{4}})$ como $\log_{2} (x y^{4}) - \log_{2} (z^{4})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{2} (x y^{4}) - \log_{2} (z^{4}))$

Paso 4

Expande $\log_{2} (z^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log_{2} (x y^{4}) - (4 \log_{2} (z)))$

Paso 5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\log_{2} (x y^{4}) - 4 \log_{2} (z))$

Paso 6

Reescribe $\log_{2} (x y^{4})$ como $\log_{2} (x) + \log_{2} (y^{4})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{2} (x) + \log_{2} (y^{4}) - 4 \log_{2} (z))$

Paso 7

Expande $\log_{2} (y^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log_{2} (x) + 4 \log_{2} (y) - 4 \log_{2} (z))$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \log_{2} (x) + \frac{1}{2} (4 \log_{2} (y)) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{2} (z))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{2} (x)$ .

$\frac{\log_{2} (x)}{2} + \frac{1}{2} (4 \log_{2} (y)) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{2} (z))$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $2$ de $4 \log_{2} (y)$ .

$\frac{\log_{2} (x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 \log_{2} (y))) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{2} (z))$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\log_{2} (x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 \log_{2} (y))) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{2} (z))$

Paso 9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\log_{2} (x)}{2} + 2 \log_{2} (y) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{2} (z))$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $2$ de $- 4 \log_{2} (z)$ .

$\frac{\log_{2} (x)}{2} + 2 \log_{2} (y) + \frac{1}{2} (2 (- 2 \log_{2} (z)))$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\log_{2} (x)}{2} + 2 \log_{2} (y) + \frac{1}{2} (2 (- 2 \log_{2} (z)))$

Paso 9.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\log_{2} (x)}{2} + 2 \log_{2} (y) - 2 \log_{2} (z)$