Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (\sqrt[3]{\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)}}$ como ${(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{4} ({(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 2

Expande $\log_{4} ({(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} \log_{4} (\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{3} \log_{4} (\frac{16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$

Paso 4

Reescribe $\log_{4} (\frac{16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$ como $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3))$ .

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Paso 5

Reescribe $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})$ como $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6})$ .

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Paso 6

Reescribe $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2})$ como $\log_{4} (16) + \log_{4} ({(x - 3)}^{2})$ .

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + \log_{4} ({(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Paso 7

Expande $\log_{4} ({(x - 3)}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + 2 \log_{4} (x - 3) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Paso 8

Expande $\log_{4} ({(x + 5)}^{6})$ ; para ello, mueve $6$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Paso 9

El logaritmo en base $4$ de $16$ es $2$ .

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Paso 10

Reescribe $\log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3))$ como $\log_{4} ({(x - 1)}^{2}) + \log_{4} (x + 3)$ .

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (\log_{4} ({(x - 1)}^{2}) + \log_{4} (x + 3)))$

Paso 11

Expande $\log_{4} ({(x - 1)}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (2 \log_{4} (x - 1) + \log_{4} (x + 3)))$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (2 \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3))$

Paso 12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - 2 \log_{4} (x - 1) - \log_{4} (x + 3))$

Paso 13

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3)) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3)) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Paso 14.2

Multiplica $\frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3))$ .

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Paso 14.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \log_{4} (x - 3) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Paso 14.2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $\log_{4} (x - 3)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Paso 14.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.3.1

Factoriza $3$ de $6 \log_{4} (x + 5)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (3 (2 \log_{4} (x + 5))) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Paso 14.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (3 (2 \log_{4} (x + 5))) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Paso 14.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Paso 14.4

Multiplica $\frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1))$ .

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Paso 14.4.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2}{3} \log_{4} (x - 1) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Paso 14.4.2

Combina $\frac{- 2}{3}$ y $\log_{4} (x - 1)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2 \log_{4} (x - 1)}{3} + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Paso 14.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log_{4} (x + 3)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 17

Factoriza $2$ de $2 + 2 \log_{4} (x - 3)$ .

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Paso 17.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 17.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 18

Para escribir $2 \log_{4} (x + 5)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 19

Combina $2 \log_{4} (x + 5)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + \frac{2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 21

Simplifica el numerador.

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Paso 21.1

Factoriza $2$ de $2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3$ .

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Paso 21.1.1

Factoriza $2$ de $2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 (\log_{4} (x + 5) \cdot 3)}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 21.1.2

Factoriza $2$ de $2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 (\log_{4} (x + 5) \cdot 3)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + \log_{4} (x + 5) \cdot 3)}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 21.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\log_{4} (x + 5)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5))}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) - 2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 23

Factoriza $2$ de $2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) - 2 \log_{4} (x - 1)$ .

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Paso 23.1

Factoriza $2$ de $- 2 \log_{4} (x - 1)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1))}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 23.2

Factoriza $2$ de $2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1))$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} (x - 1))}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 25

Simplifica el numerador.

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Paso 25.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3) + 2 (3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 25.2

Simplifica.

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Paso 25.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 2 (3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 25.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Paso 25.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - 2 \log_{4} (x - 1) - \log_{4} (x + 3)}{3}$