Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (\sqrt{3 \cdot 2 \cdot 5})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 \cdot 2 \cdot 5}$ como ${(3 \cdot 2 \cdot 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{4} ({(3 \cdot 2 \cdot 5)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Expande $\log_{4} ({(3 \cdot 2 \cdot 5)}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{4} (3 \cdot 2 \cdot 5)$

Paso 3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \log_{4} (6 \cdot 5)$

Paso 4

Multiplica $6$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \log_{4} (30)$

Paso 5

Reescribe $\log_{4} (30)$ como $\log_{4} (2 \cdot 3 \cdot 5)$ .

$\frac{1}{2} \log_{4} (2 \cdot 3 \cdot 5)$

Paso 6

Reescribe $\log_{4} (2 \cdot 3 \cdot 5)$ como $\log_{4} (2 \cdot 3) + \log_{4} (5)$ .

$\frac{1}{2} (\log_{4} (2 \cdot 3) + \log_{4} (5))$

Paso 7

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (\log_{4} (6) + \log_{4} (5))$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Reescribe $\log_{4} (6)$ como $\log_{4} (2 (3))$ .

$\frac{1}{2} (\log_{4} (2 (3)) + \log_{4} (5))$

Paso 8.2

Reescribe $\log_{4} (2 (3))$ como $\log_{4} (2) + \log_{4} (3)$ .

$\frac{1}{2} (\log_{4} (2) + \log_{4} (3) + \log_{4} (5))$

Paso 8.3

El logaritmo en base $4$ de $2$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \log_{4} (3) + \log_{4} (5))$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{4} (3) + \frac{1}{2} \log_{4} (5)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 10.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \log_{4} (3) + \frac{1}{2} \log_{4} (5)$

Paso 10.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \log_{4} (3) + \frac{1}{2} \log_{4} (5)$

Paso 10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{4} (3)$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\log_{4} (3)}{2} + \frac{1}{2} \log_{4} (5)$

Paso 10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{4} (5)$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\log_{4} (3)}{2} + \frac{\log_{4} (5)}{2}$