Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (4) \cdot \log_{4} (5) \cdot \log_{5} (6) \cdot \log_{6} (7) \cdot \log_{7} (8) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 1

Reescribe $\log_{3} (4)$ como $\log_{3} (2^{2})$ .

$\log_{3} (2^{2}) \cdot \log_{4} (5) \cdot \log_{5} (6) \cdot \log_{6} (7) \cdot \log_{7} (8) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 2

Expande $\log_{3} (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$2 \log_{3} (2) \cdot \log_{4} (5) \cdot \log_{5} (6) \cdot \log_{6} (7) \cdot \log_{7} (8) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 3

Reescribe $\log_{5} (6)$ como $\log_{5} (2 (3))$ .

$2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \cdot \log_{5} (2 (3)) \cdot \log_{6} (7) \cdot \log_{7} (8) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 4

Reescribe $\log_{5} (2 (3))$ como $\log_{5} (2) + \log_{5} (3)$ .

$2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \cdot (\log_{5} (2) + \log_{5} (3)) \cdot \log_{6} (7) \cdot \log_{7} (8) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) + 2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3)) \cdot \log_{6} (7) \cdot \log_{7} (8) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) + 2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7)) \cdot \log_{7} (8) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 7

Reescribe $\log_{7} (8)$ como $\log_{7} (2^{3})$ .

$(2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) + 2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7)) \cdot \log_{7} (2^{3}) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 8

Expande $\log_{7} (2^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$(2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) + 2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7)) \cdot (3 \log_{7} (2)) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) (3 \log_{7} (2)) + 2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7) (3 \log_{7} (2))) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 10

Multiplica $3$ por $2$ .

$(6 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) \log_{7} (2) + 2 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7) (3 \log_{7} (2))) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 11

Multiplica $3$ por $2$ .

$(6 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) \log_{7} (2) + 6 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7) \log_{7} (2)) \cdot \log_{8} (9)$

Paso 12

Reescribe $\log_{8} (9)$ como $\log_{8} (3^{2})$ .

$(6 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) \log_{7} (2) + 6 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7) \log_{7} (2)) \cdot \log_{8} (3^{2})$

Paso 13

Expande $\log_{8} (3^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$(6 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) \log_{7} (2) + 6 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7) \log_{7} (2)) \cdot (2 \log_{8} (3))$

Paso 14

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) \log_{7} (2) (2 \log_{8} (3)) + 6 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7) \log_{7} (2) (2 \log_{8} (3))$

Paso 15

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) \log_{7} (2) \log_{8} (3) + 6 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7) \log_{7} (2) (2 \log_{8} (3))$

Paso 16

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (2) \log_{6} (7) \log_{7} (2) \log_{8} (3) + 12 \log_{3} (2) \log_{4} (5) \log_{5} (3) \log_{6} (7) \log_{7} (2) \log_{8} (3)$