Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}})$

Paso 1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Paso 2.1.2

Eleva $\sqrt[3]{6}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Paso 2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}})$

Paso 2.1.4

Suma $1$ y $2$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}})$

Paso 2.1.5

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ como $6$ .

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Paso 2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6}$ como $6^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Paso 2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Paso 2.1.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Paso 2.1.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Paso 2.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}})$

Paso 2.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6})$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}$ .

$\ln (\frac{3 (\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{6})$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\ln (\frac{3 (\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{3 \cdot 2})$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{3 (\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{3 \cdot 2})$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{2})$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ como $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{5} \sqrt[3]{6^{2}}}{2})$

Paso 3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt{5} \sqrt[3]{36}}{2})$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión con el índice menos común de $6$ .

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{36}}{2})$

Paso 4.1.2

Reescribe $5^{\frac{1}{2}}$ como $5^{\frac{3}{6}}$ .

$\ln (\frac{5^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{36}}{2})$

Paso 4.1.3

Reescribe $5^{\frac{3}{6}}$ como $\sqrt[6]{5^{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \sqrt[3]{36}}{2})$

Paso 4.1.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{36}$ como $36^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \cdot 36^{\frac{1}{3}}}{2})$

Paso 4.1.5

Reescribe $36^{\frac{1}{3}}$ como $36^{\frac{2}{6}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \cdot 36^{\frac{2}{6}}}{2})$

Paso 4.1.6

Reescribe $36^{\frac{2}{6}}$ como $\sqrt[6]{36^{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \sqrt[6]{36^{2}}}{2})$

Paso 4.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3} \cdot 36^{2}}}{2})$

Paso 4.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{125 \cdot 36^{2}}}{2})$

Paso 4.4

Eleva $36$ a la potencia de $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{125 \cdot 1296}}{2})$

Paso 5

Multiplica $125$ por $1296$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{162000}}{2})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\frac{\sqrt[6]{162000}}{2})$

Forma decimal:

$1.30607808 \dots$