Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}})$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}})$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\ln (\frac{2 x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}})$

Paso 2

Multiplica $\frac{2 x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\ln (\frac{2 x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}})$

Paso 3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{2 x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}})$

Paso 3.2

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}})$

Paso 3.3

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1}})$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}})$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}})$

Paso 3.6

Reescribe ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ como $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}})$

Paso 3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}})$

Paso 3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}})$

Paso 3.6.5

Simplifica.

$\ln (\frac{2 x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$