Precálculo Ejemplos

$\ln (x - \frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1})$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - \frac{1}{x}) \frac{x}{x + 1})$

Paso 2

Multiplica $x - \frac{1}{x}$ por $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{(x - \frac{1}{x}) x}{x + 1})$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\ln (\frac{(\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}) x}{x + 1})$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (\frac{\frac{x \cdot x - 1}{x} x}{x + 1})$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{1} x - 1}{x} x}{x + 1})$

Paso 3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{1} x^{1} - 1}{x} x}{x + 1})$

Paso 3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{\frac{x^{1 + 1} - 1}{x} x}{x + 1})$

Paso 3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} - 1}{x} x}{x + 1})$

Paso 3.3.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} x}{x + 1})$

Paso 3.3.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} x}{x + 1})$

Paso 4

Combina $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$ y $x$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}}{x + 1})$

Paso 5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Reduce la expresión $\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}}{x + 1})$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{1}}{x + 1})$

Paso 5.2

Divide $(x + 1) (x - 1)$ por $1$ .

$\ln (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1})$

Paso 6

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1})$

Paso 6.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$\ln (x - 1)$