Precálculo Ejemplos

$\log (x^{2} - 4) - \log (x^{2} + 9 x + 14)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14})$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 2^{2}}{x^{2} + 9 x + 14})$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 9 x + 14})$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 9 x + 14$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $14$ y cuya suma es $9$ .

$2, 7$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)})$

Paso 4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)})$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{x - 2}{x + 7})$