Precálculo Ejemplos

$\log_{a} ({(\frac{5 x^{2} \sqrt[3]{1 - 4 x}}{7 {(x + 1)}^{2}})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{1 - 4 x}$ como ${(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{a} ({(\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 2

Expande $\log_{a} ({(\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})}^{\frac{3}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{3}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{3}{2} \log_{a} (\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{a} (\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})$ como $\log_{a} (5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Paso 4

Reescribe $\log_{a} (5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$ como $\log_{a} (5 x^{2}) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5 x^{2}) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Paso 5

Reescribe $\log_{a} (5 x^{2})$ como $\log_{a} (5) + \log_{a} (x^{2})$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + \log_{a} (x^{2}) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Paso 6

Expande $\log_{a} (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Paso 7

Expande $\log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{1}{3} \log_{a} (1 - 4 x) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Paso 8

Reescribe $\log_{a} (7 {(x + 1)}^{2})$ como $\log_{a} (7) + \log_{a} ({(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{1}{3} \log_{a} (1 - 4 x) - (\log_{a} (7) + \log_{a} ({(x + 1)}^{2})))$

Paso 9

Expande $\log_{a} ({(x + 1)}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{1}{3} \log_{a} (1 - 4 x) - (\log_{a} (7) + 2 \log_{a} (x + 1)))$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log_{a} (1 - 4 x)$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - (\log_{a} (7) + 2 \log_{a} (x + 1)))$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - (2 \log_{a} (x + 1)))$

Paso 10.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Paso 11

Para escribir $\log_{a} (5)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \log_{a} (5) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Paso 12

Combina $\log_{a} (5)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (5) \cdot 3}{3} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (5) \cdot 3 + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Paso 14

Mueve $3$ a la izquierda de $\log_{a} (5)$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Paso 15

Para escribir $- 2 \log_{a} (x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} - 2 \log_{a} (x + 1) \cdot \frac{3}{3} - \log_{a} (7))$

Paso 16

Combina $- 2 \log_{a} (x + 1)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} + \frac{- 2 \log_{a} (x + 1) \cdot 3}{3} - \log_{a} (7))$

Paso 17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 2 \log_{a} (x + 1) \cdot 3}{3} - \log_{a} (7))$

Paso 18

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} - \log_{a} (7))$

Paso 19

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x)) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 20.1.1

Factoriza $2$ de $2 \log_{a} (x)$ .

$\frac{3}{2} (2 (\log_{a} (x))) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Paso 20.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x)) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Paso 20.1.3

Reescribe la expresión.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Paso 20.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 20.2.1

Cancela el factor común.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Paso 20.2.2

Reescribe la expresión.

$3 \log_{a} (x) + \frac{1}{2} (3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)) + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Paso 20.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $\log_{a} (7)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{1}{2} (3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21

Simplifica cada término.

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Paso 21.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \log_{a} (x) + \frac{1}{2} (3 \log_{a} (5)) + \frac{1}{2} \log_{a} (1 - 4 x) + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.2

Simplifica.

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Paso 21.2.1

Multiplica $\frac{1}{2} (3 \log_{a} (5))$ .

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Paso 21.2.1.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3}{2} \log_{a} (5) + \frac{1}{2} \log_{a} (1 - 4 x) + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.2.1.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $\log_{a} (5)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} (1 - 4 x) + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{a} (1 - 4 x)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 21.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 6 \log_{a} (x + 1)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3 \log_{a} (x + 1))) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.2.3.2

Cancela el factor común.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3 \log_{a} (x + 1))) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.2.3.3

Reescribe la expresión.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} - 3 \log_{a} (x + 1) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{2} - 3 \log_{a} (x + 1) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.4

Para escribir $- 3 \log_{a} (x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{2} - 3 \log_{a} (x + 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.5

Combina $- 3 \log_{a} (x + 1)$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{- 3 \log_{a} (x + 1) \cdot 2}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 3 \log_{a} (x + 1) \cdot 2}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Paso 21.7

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$