Precálculo Ejemplos

$\log_{3} ({(27 x^{5} \sqrt[3]{y})}^{2})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y}$ como $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{3} ({(27 x^{5} y^{\frac{1}{3}})}^{2})$

Paso 2

Expande $\log_{3} ({(27 x^{5} y^{\frac{1}{3}})}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$2 \log_{3} (27 x^{5} y^{\frac{1}{3}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{3} (27 x^{5} y^{\frac{1}{3}})$ como $\log_{3} (27 x^{5}) + \log_{3} (y^{\frac{1}{3}})$ .

$2 (\log_{3} (27 x^{5}) + \log_{3} (y^{\frac{1}{3}}))$

Paso 4

Reescribe $\log_{3} (27 x^{5})$ como $\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{5})$ .

$2 (\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{5}) + \log_{3} (y^{\frac{1}{3}}))$

Paso 5

Expande $\log_{3} (x^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$2 (\log_{3} (27) + 5 \log_{3} (x) + \log_{3} (y^{\frac{1}{3}}))$

Paso 6

Expande $\log_{3} (y^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$2 (\log_{3} (27) + 5 \log_{3} (x) + \frac{1}{3} \log_{3} (y))$

Paso 7

El logaritmo en base $3$ de $27$ es $3$ .

$2 (3 + 5 \log_{3} (x) + \frac{1}{3} \log_{3} (y))$

Paso 8

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log_{3} (y)$ .

$2 (3 + 5 \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (y)}{3})$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 3 + 2 (5 \log_{3} (x)) + 2 \frac{\log_{3} (y)}{3}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 + 2 (5 \log_{3} (x)) + 2 \frac{\log_{3} (y)}{3}$

Paso 10.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$6 + 10 \log_{3} (x) + 2 \frac{\log_{3} (y)}{3}$

Paso 10.3

Combina $2$ y $\frac{\log_{3} (y)}{3}$ .

$6 + 10 \log_{3} (x) + \frac{2 \log_{3} (y)}{3}$