Precálculo Ejemplos

$x - \frac{15}{x} < - 2$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 2

Multiplica cada término en $x - \frac{15}{x} < - 2$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $x - \frac{15}{x} < - 2$ por $x$ .

$x \cdot x - \frac{15}{x} x < - 2 x$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - \frac{15}{x} x < - 2 x$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{15}{x}$ al numerador.

$x^{2} + \frac{- 15}{x} x < - 2 x$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{- 15}{x} x < - 2 x$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 15 < - 2 x$

Paso 3

Resuelve la desigualdad.

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Paso 3.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 15 + 2 x < 0$

Paso 3.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 15 + 2 x = 0$

Paso 3.3

Factoriza $x^{2} - 15 + 2 x$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.6

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 5$

Paso 4

Obtén el dominio de $x - \frac{15}{x} + 2$ .

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{15}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$(- 8) - \frac{15}{- 8} < - 2$

Paso 6.1.3

$- 6.125$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) - \frac{15}{- 2} < - 2$

Paso 6.2.3

$5.5$ del lado izquierdo no es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$(2) - \frac{15}{2} < - 2$

Paso 6.3.3

$- 5.5$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 6.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$(6) - \frac{15}{6} < - 2$

Paso 6.4.3

$3.5$ del lado izquierdo no es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 5$ o $0 < x < 3$

Paso 8

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 3)$

Paso 9