Precálculo Ejemplos

$\log (8) + 3 \log (x) = 3$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log (8) + 3 \log (x) = 3$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $\log (8) + 3 \log (x)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $3 \log (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log (8) + \log (x^{3}) = 3$

Paso 2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (8 x^{3}) = 3$

Paso 3

Reescribe $\log (8 x^{3}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{3} = 8 x^{3}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $8 x^{3} = 10^{3}$ .

$8 x^{3} = 10^{3}$

Paso 4.2

Resta $10^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x^{3} - 10^{3} = 0$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$8 x^{3} - 1 \cdot 1000 = 0$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $1000$ .

$8 x^{3} - 1000 = 0$

Paso 4.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Factoriza $8$ de $8 x^{3} - 1000$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $8$ de $8 x^{3}$ .

$8 (x^{3}) - 1000 = 0$

Paso 4.4.1.2

Factoriza $8$ de $- 1000$ .

$8 x^{3} + 8 \cdot - 125 = 0$

Paso 4.4.1.3

Factoriza $8$ de $8 x^{3} + 8 \cdot - 125$ .

$8 (x^{3} - 125) = 0$

Paso 4.4.2

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$8 (x^{3} - 5^{3}) = 0$

Paso 4.4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$8 ((x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

Paso 4.4.4

Factoriza.

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Paso 4.4.4.1

Simplifica.

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Paso 4.4.4.1.1

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$8 ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})) = 0$

Paso 4.4.4.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$8 ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = 0$

Paso 4.4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$8 (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Paso 4.6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4.7

Establece $x^{2} + 5 x + 25$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.7.1

Establece $x^{2} + 5 x + 25$ igual a $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Paso 4.7.2

Resuelve $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 5$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3

Simplifica.

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Paso 4.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.2.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 4.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.7.2.3.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.7.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ verdadera.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$