Precálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 5} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 5} 2 x + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - 5} 2 x + lim_{x \to - 5} 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 5} x + lim_{x \to - 5} 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 5} x + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 5$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{- 10 + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 1.1.2.3.2

Suma $- 10$ y $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 5} x^{2} + lim_{x \to - 5} 2 x - lim_{x \to - 5} 15}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + lim_{x \to - 5} 2 x - lim_{x \to - 5} 15}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 15}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa el límite de $15$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 15}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 5$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 5$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 2 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 15}$

Paso 1.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 5$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 2 \cdot - 5 - 1 \cdot 15}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{25 + 2 \cdot - 5 - 1 \cdot 15}$

Paso 1.1.3.6.1.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{0}{25 - 10 - 1 \cdot 15}$

Paso 1.1.3.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$\frac{0}{25 - 10 - 15}$

Paso 1.1.3.6.2

Resta $10$ de $25$ .

$\frac{0}{15 - 15}$

Paso 1.1.3.6.3

Resta $15$ de $15$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 5} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 2 x - 15} = lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Paso 1.3.4

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Paso 1.3.5

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x - 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Paso 1.3.9

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $2$ y $2 x + 2$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 x + 2}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x) + 2}$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x) + 2 (1)}$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x + 1)}$

Paso 1.4.2.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x + 1)}$

Paso 1.4.2.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - 5} \frac{1}{x + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - 5} 1}{lim_{x \to - 5} x + 1}$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 5} x + 1}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 5} x + lim_{x \to - 5} 1}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 5} x + 1}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 5$ para $x$ .

$\frac{1}{- 5 + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Suma $- 5$ y $1$ .

$\frac{1}{- 4}$

Paso 4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$