Precálculo Ejemplos

$\log (x^{2} - 1) - \log (12) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1}{12}) = 1$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{12}) = 1$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $12$ .

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$(x + 1) (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.1.1.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Move the decimal point in $12$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$x^{2} - 1 = 1.2 \cdot 10^{2}$

Paso 3.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1$

Paso 3.4.2

Convert $1$ to scientific notation.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1 \cdot 10^{0}$

Paso 3.4.3

Move the decimal point in $1$ to the left by $2$ places and increase the power of $10^{0}$ by $2$ .

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$

Paso 3.4.4

Factoriza $10^{2}$ de $1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$ .

$x^{2} = (1.2 + 0.01) \cdot 10^{2}$

Paso 3.4.5

Suma $1.2$ y $0.01$ .

$x^{2} = 1.21 \cdot 10^{2}$

Paso 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica $\pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ .

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Paso 3.6.1

Reescribe $\sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ como $\sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$ .

$x = \pm \sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$

Paso 3.6.2

Evalúa la raíz.

$x = \pm 1.1 \cdot \sqrt{10^{2}}$

Paso 3.6.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 1.1 \cdot 10$

Paso 3.6.4

Eleva $10$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm 1.1 \cdot 10^{1}$

Paso 3.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1.1 \cdot 10^{1}$

Paso 3.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1.1 \cdot 10^{1}$

Paso 3.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Notación científica:

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

Forma expandida:

$x = 11, - 11$