Precálculo Ejemplos

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5 + 0$

Paso 2

Suma $5$ y $0$ .

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Simplifica $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1.1

Simplifica $4 \log_{3} (2 x)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} ({(2 x)}^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Paso 3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$\log_{3} (2^{4} x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Paso 3.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\log_{3} (16 x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Paso 3.1.1.4

Simplifica $8 \log_{3} (x)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} (16 x^{4}) + \log_{3} (x^{8}) = 5$

Paso 3.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (16 x^{4} x^{8}) = 5$

Paso 3.1.3

Multiplica $x^{4}$ por $x^{8}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1

Mueve $x^{8}$ .

$\log_{3} (16 (x^{8} x^{4})) = 5$

Paso 3.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{3} (16 x^{8 + 4}) = 5$

Paso 3.1.3.3

Suma $8$ y $4$ .

$\log_{3} (16 x^{12}) = 5$

Paso 4

Reescribe $\log_{3} (16 x^{12}) = 5$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{5} = 16 x^{12}$

Paso 5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $16 x^{12} = 3^{5}$ .

$16 x^{12} = 3^{5}$

Paso 5.2

Divide cada término en $16 x^{12} = 3^{5}$ por $16$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Divide cada término en $16 x^{12} = 3^{5}$ por $16$ .

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x^{12}$ por $1$ .

$x^{12} = \frac{3^{5}}{16}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$x^{12} = \frac{243}{16}$

Paso 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$

Paso 5.4

Simplifica $\pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Reescribe $\sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ como $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{2^{4}}}$

Paso 5.4.2.2

Reescribe $\sqrt[12]{2^{4}}$ como $\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}}$

Paso 5.4.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 5.4.3

Multiplica $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 5.4.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 5.4.4.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 5.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 5.4.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 5.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 5.4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.4.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.4.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.4.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 5.4.4.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 5.4.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 5.4.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 5.4.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.6.1

Reescribe la expresión con el índice menos común de $12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.6.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Paso 5.4.6.1.2

Reescribe $4^{\frac{1}{3}}$ como $4^{\frac{4}{12}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{4}{12}}}{2}$

Paso 5.4.6.1.3

Reescribe $4^{\frac{4}{12}}$ como $\sqrt[12]{4^{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[12]{4^{4}}}{2}$

Paso 5.4.6.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 4^{4}}}{2}$

Paso 5.4.6.3

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 256}}{2}$

Paso 5.4.7

Multiplica $243$ por $256$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Paso 5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Paso 5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Paso 5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}, - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.25446107 \dots$