Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (x + 3) = 4 + \log_{5} (x - 5)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{5} (x + 3) - \log_{5} (x - 5) = 4$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x + 3}{x - 5}) = 4$

Paso 3

Reescribe $\log_{5} (\frac{x + 3}{x - 5}) = 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{4} = \frac{x + 3}{x - 5}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x + 3 = 5^{4} (x - 5)$

Paso 5

Simplifica $5^{4} (x - 5)$ .

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Paso 5.1

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$x + 3 = 625 (x - 5)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 3 = 625 x + 625 \cdot - 5$

Paso 5.3

Multiplica $625$ por $- 5$ .

$x + 3 = 625 x - 3125$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $625 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 3 - 625 x = - 3125$

Paso 6.2

Resta $625 x$ de $x$ .

$- 624 x + 3 = - 3125$

Paso 7

Factoriza $3$ de $- 624 x + 3$ .

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Paso 7.1

Factoriza $3$ de $- 624 x$ .

$3 (- 208 x) + 3 = - 3125$

Paso 7.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 (- 208 x) + 3 (1) = - 3125$

Paso 7.3

Factoriza $3$ de $3 (- 208 x) + 3 (1)$ .

$3 (- 208 x + 1) = - 3125$

Paso 8

Divide cada término en $3 (- 208 x + 1) = - 3125$ por $3$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $3 (- 208 x + 1) = - 3125$ por $3$ .

$\frac{3 (- 208 x + 1)}{3} = \frac{- 3125}{3}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 208 x + 1)}{3} = \frac{- 3125}{3}$

Paso 8.2.1.2

Divide $- 208 x + 1$ por $1$ .

$- 208 x + 1 = \frac{- 3125}{3}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 208 x + 1 = - \frac{3125}{3}$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 208 x = - \frac{3125}{3} - 1$

Paso 9.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 208 x = - \frac{3125}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 9.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 208 x = - \frac{3125}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 208 x = \frac{- 3125 - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 208 x = \frac{- 3125 - 3}{3}$

Paso 9.5.2

Resta $3$ de $- 3125$ .

$- 208 x = \frac{- 3128}{3}$

Paso 9.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 208 x = - \frac{3128}{3}$

Paso 10

Divide cada término en $- 208 x = - \frac{3128}{3}$ por $- 208$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $- 208 x = - \frac{3128}{3}$ por $- 208$ .

$\frac{- 208 x}{- 208} = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $- 208$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 208 x}{- 208} = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Paso 10.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{3128}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 10.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3128}{3}$ al numerador.

$x = \frac{- 3128}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Paso 10.3.2.2

Factoriza $8$ de $- 3128$ .

$x = \frac{8 (- 391)}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Paso 10.3.2.3

Factoriza $8$ de $- 208$ .

$x = \frac{8 \cdot - 391}{3} \cdot \frac{1}{8 \cdot - 26}$

Paso 10.3.2.4

Cancela el factor común.

$x = \frac{8 \cdot - 391}{3} \cdot \frac{1}{8 \cdot - 26}$

Paso 10.3.2.5

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 391}{3} \cdot \frac{1}{- 26}$

Paso 10.3.3

Multiplica $\frac{- 391}{3}$ por $\frac{1}{- 26}$ .

$x = \frac{- 391}{3 \cdot - 26}$

Paso 10.3.4

Multiplica $3$ por $- 26$ .

$x = \frac{- 391}{- 78}$

Paso 10.3.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{391}{78}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{391}{78}$

Forma decimal:

$x = 5.01282051 \dots$

Forma de número mixto:

$x = 5 \frac{1}{78}$