Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (3 x) + \log_{5} (2 x - 1) = \log_{5} (16 x - 10)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (3 x (2 x - 1)) = \log_{5} (16 x - 10)$

Paso 1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1) = \log_{5} (16 x - 10)$

Paso 1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log_{5} (3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1) = \log_{5} (16 x - 10)$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\log_{5} (3 \cdot (2 x \cdot x) - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Paso 1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1

Mueve $x$ .

$\log_{5} (3 \cdot (2 (x \cdot x)) - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{5} (3 \cdot (2 x^{2}) - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Paso 1.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\log_{5} (6 x^{2} - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$6 x^{2} - 3 x = 16 x - 10$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $16 x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} - 3 x - 16 x = - 10$

Paso 3.1.2

Resta $16 x$ de $- 3 x$ .

$6 x^{2} - 19 x = - 10$

Paso 3.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} - 19 x + 10 = 0$

Paso 3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot 10 = 60$ y cuya suma es $b = - 19$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $- 19$ de $- 19 x$ .

$6 x^{2} - 19 x + 10 = 0$

Paso 3.3.1.2

Reescribe $- 19$ como $- 4$ más $- 15$

$6 x^{2} + (- 4 - 15) x + 10 = 0$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} - 4 x - 15 x + 10 = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 x^{2} - 4 x) - 15 x + 10 = 0$

Paso 3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (3 x - 2) - 5 (3 x - 2) = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (2 x - 5) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Paso 3.5

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 3.6

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $2 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 5$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 2) (2 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2}{3}, \frac{5}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{2}{3}, \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{6}, 2.5$

Forma de número mixto:

$x = \frac{2}{3}, 2 \frac{1}{2}$