Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (x^{2} - 2 x - 15) - \log_{4} (x + 3) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}) = 2$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\log_{4} (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x + 3}) = 2$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\log_{4} (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x + 3}) = 2$

Paso 1.3.2

Divide $x - 5$ por $1$ .

$\log_{4} (x - 5) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log_{4} (x - 5) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{2} = x - 5$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x - 5 = 4^{2}$ .

$x - 5 = 4^{2}$

Paso 3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x - 5 = 16$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 16 + 5$

Paso 3.3.2

Suma $16$ y $5$ .

$x = 21$