Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $- 2 \log_{3} (x - 1)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} (x + 1) - \log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 1$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$

Paso 3

Reescribe $\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x + 1 = 3 ({(x - 1)}^{2})$

Paso 5

Simplifica $3 ({(x - 1)}^{2})$ .

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Paso 5.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = 3 ((x - 1) (x - 1))$

Paso 5.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 5.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 5.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 5.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Paso 5.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Paso 5.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = 3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

Paso 5.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 1 - 3 x^{2} = - 6 x + 3$

Paso 6.2

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x + 1 - 3 x^{2} + 6 x = 3$

Paso 6.3

Suma $x$ y $6 x$ .

$7 x + 1 - 3 x^{2} = 3$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x - 3 x^{2} = 3 - 1$

Paso 7.2

Resta $1$ de $3$ .

$7 x - 3 x^{2} = 2$

Paso 8

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x - 3 x^{2} - 2 = 0$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Factoriza $- 1$ de $7 x - 3 x^{2} - 2$ .

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Paso 9.1.1

Reordena $7 x$ y $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

Paso 9.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 7 x - 2 = 0$

Paso 9.1.3

Factoriza $- 1$ de $7 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 2 = 0$

Paso 9.1.4

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Paso 9.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 7 x)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Paso 9.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2} - 7 x) - 1 (2)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Paso 9.2

Factoriza.

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Paso 9.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 9.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 9.2.1.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Paso 9.2.1.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 1$ más $- 6$

$- (3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2) = 0$

Paso 9.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2) = 0$

Paso 9.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 9.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2) = 0$

Paso 9.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1)) = 0$

Paso 9.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x - 2)) = 0$

Paso 9.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (3 x - 1) (x - 2) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 11

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 12

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 12.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (3 x - 1) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}, 2$

Paso 14

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$ sea verdadera.

$x = 2$