Precálculo Ejemplos

$\log (\frac{100 x^{3} \sqrt[3]{2 - x}}{7 {(x + 1)}^{2}})$

Paso 1

Reescribe $\log (\frac{100 x^{3} \sqrt[3]{2 - x}}{7 {(x + 1)}^{2}})$ como $\log (100 x^{3} \sqrt[3]{2 - x}) - \log (7 {(x + 1)}^{2})$ .

$\log (100 x^{3} \sqrt[3]{2 - x}) - \log (7 {(x + 1)}^{2})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2 - x}$ como ${(2 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log (100 x^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (7 {(x + 1)}^{2})$

Paso 3

Reescribe $\log (100 x^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{3}})$ como $\log (100 x^{3}) + \log ({(2 - x)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\log (100 x^{3}) + \log ({(2 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (7 {(x + 1)}^{2})$

Paso 4

Reescribe $\log (100 x^{3})$ como $\log (100) + \log (x^{3})$ .

$\log (100) + \log (x^{3}) + \log ({(2 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (7 {(x + 1)}^{2})$

Paso 5

Expande $\log (x^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\log (100) + 3 \log (x) + \log ({(2 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (7 {(x + 1)}^{2})$

Paso 6

Expande $\log ({(2 - x)}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\log (100) + 3 \log (x) + \frac{1}{3} \log (2 - x) - \log (7 {(x + 1)}^{2})$

Paso 7

El logaritmo en base $10$ de $100$ es $2$ .

$2 + 3 \log (x) + \frac{1}{3} \log (2 - x) - \log (7 {(x + 1)}^{2})$

Paso 8

Reescribe $\log (7 {(x + 1)}^{2})$ como $\log (7) + \log ({(x + 1)}^{2})$ .

$2 + 3 \log (x) + \frac{1}{3} \log (2 - x) - (\log (7) + \log ({(x + 1)}^{2}))$

Paso 9

Expande $\log ({(x + 1)}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$2 + 3 \log (x) + \frac{1}{3} \log (2 - x) - (\log (7) + 2 \log (x + 1))$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log (2 - x)$ .

$2 + 3 \log (x) + \frac{\log (2 - x)}{3} - (\log (7) + 2 \log (x + 1))$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 + 3 \log (x) + \frac{\log (2 - x)}{3} - \log (7) - (2 \log (x + 1))$

Paso 10.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 + 3 \log (x) + \frac{\log (2 - x)}{3} - \log (7) - 2 \log (x + 1)$

Paso 11

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 \log (x) + 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{\log (2 - x)}{3} - \log (7) - 2 \log (x + 1)$

Paso 12

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 \log (x) + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{\log (2 - x)}{3} - \log (7) - 2 \log (x + 1)$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \log (x) + \frac{2 \cdot 3 + \log (2 - x)}{3} - \log (7) - 2 \log (x + 1)$

Paso 14

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 \log (x) + \frac{6 + \log (2 - x)}{3} - \log (7) - 2 \log (x + 1)$

Paso 15

Para escribir $- 2 \log (x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 \log (x) + \frac{6 + \log (2 - x)}{3} - 2 \log (x + 1) \cdot \frac{3}{3} - \log (7)$

Paso 16

Combina $- 2 \log (x + 1)$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 \log (x) + \frac{6 + \log (2 - x)}{3} + \frac{- 2 \log (x + 1) \cdot 3}{3} - \log (7)$

Paso 17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \log (x) + \frac{6 + \log (2 - x) - 2 \log (x + 1) \cdot 3}{3} - \log (7)$

Paso 18

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$3 \log (x) + \frac{6 + \log (2 - x) - 6 \log (x + 1)}{3} - \log (7)$