Precálculo Ejemplos

$\ln (\sqrt{\frac{x^{2} + 4}{(x^{2} + 1) {(x^{3} - 7)}^{2}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x^{2} + 4}{(x^{2} + 1) {(x^{3} - 7)}^{2}}}$ como ${(\frac{x^{2} + 4}{(x^{2} + 1) {(x^{3} - 7)}^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(\frac{x^{2} + 4}{(x^{2} + 1) {(x^{3} - 7)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{x^{2} + 4}{(x^{2} + 1) {(x^{3} - 7)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{x^{2} + 4}{(x^{2} + 1) {(x^{3} - 7)}^{2}})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{x^{2} + 4}{(x^{2} + 1) {(x^{3} - 7)}^{2}})$ como $\ln (x^{2} + 4) - \ln ((x^{2} + 1) {(x^{3} - 7)}^{2})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x^{2} + 4) - \ln ((x^{2} + 1) {(x^{3} - 7)}^{2}))$

Paso 4

Reescribe $\ln ((x^{2} + 1) {(x^{3} - 7)}^{2})$ como $\ln (x^{2} + 1) + \ln ({(x^{3} - 7)}^{2})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x^{2} + 4) - (\ln (x^{2} + 1) + \ln ({(x^{3} - 7)}^{2})))$

Paso 5

Expande $\ln ({(x^{3} - 7)}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\ln (x^{2} + 4) - (\ln (x^{2} + 1) + 2 \ln (x^{3} - 7)))$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (\ln (x^{2} + 4) - \ln (x^{2} + 1) - (2 \ln (x^{3} - 7)))$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x^{2} + 4) - \ln (x^{2} + 1) - 2 \ln (x^{3} - 7))$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 4) + \frac{1}{2} (- \ln (x^{2} + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{3} - 7))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x^{2} + 4)$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (x^{2} + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{3} - 7))$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} + \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{3} - 7))$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \ln (x^{3} - 7)$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} + \frac{1}{2} (2 (- \ln (x^{3} - 7)))$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} + \frac{1}{2} (2 (- \ln (x^{3} - 7)))$

Paso 8.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} - \ln (x^{3} - 7)$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x^{2} + 4) - \ln (x^{2} + 1)}{2} - \ln (x^{3} - 7)$

Paso 10

Para escribir $- \ln (x^{3} - 7)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 4) - \ln (x^{2} + 1)}{2} - \ln (x^{3} - 7) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11

Combina $- \ln (x^{3} - 7)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 4) - \ln (x^{2} + 1)}{2} + \frac{- \ln (x^{3} - 7) \cdot 2}{2}$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x^{2} + 4) - \ln (x^{2} + 1) - \ln (x^{3} - 7) \cdot 2}{2}$

Paso 13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 4) - \ln (x^{2} + 1) - 2 \ln (x^{3} - 7)}{2}$