Precálculo Ejemplos

$\ln (r^{8} s^{6} \sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Paso 1

Reescribe $\ln (r^{8} s^{6} \sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$ como $\ln (r^{8} s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$ .

$\ln (r^{8} s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Paso 2

Reescribe $\ln (r^{8} s^{6})$ como $\ln (r^{8}) + \ln (s^{6})$ .

$\ln (r^{8}) + \ln (s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{r^{9} s^{2}}$ como ${(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (r^{8}) + \ln (s^{6}) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 4

Expande $\ln (r^{8})$ ; para ello, mueve $8$ fuera del logaritmo.

$8 \ln (r) + \ln (s^{6}) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 5

Expande $\ln (s^{6})$ ; para ello, mueve $6$ fuera del logaritmo.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 6

Expande $\ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} \ln (r^{9} s^{2})$

Paso 7

Reescribe $\ln (r^{9} s^{2})$ como $\ln (r^{9}) + \ln (s^{2})$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (\ln (r^{9}) + \ln (s^{2}))$

Paso 8

Expande $\ln (r^{9})$ ; para ello, mueve $9$ fuera del logaritmo.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r) + \ln (s^{2}))$

Paso 9

Expande $\ln (s^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r) + 2 \ln (s))$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r)) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $3$ de $9 \ln (r)$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (3 (3 \ln (r))) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (3 (3 \ln (r))) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Paso 10.2.3

Reescribe la expresión.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{3} (2 \ln (s))$ .

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Paso 10.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{2}{3} \ln (s)$

Paso 10.3.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $\ln (s)$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Paso 11

Suma $8 \ln (r)$ y $3 \ln (r)$ .

$11 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Paso 12

Para escribir $6 \ln (s)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$11 \ln (r) + 6 \ln (s) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Paso 13

Combina $6 \ln (s)$ y $\frac{3}{3}$ .

$11 \ln (r) + \frac{6 \ln (s) \cdot 3}{3} + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$11 \ln (r) + \frac{6 \ln (s) \cdot 3 + 2 \ln (s)}{3}$

Paso 15

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1

Multiplica $3$ por $6$ .

$11 \ln (r) + \frac{18 \ln (s) + 2 \ln (s)}{3}$

Paso 15.2

Suma $18 \ln (s)$ y $2 \ln (s)$ .

$11 \ln (r) + \frac{20 \ln (s)}{3}$