Precálculo Ejemplos

$\ln (\sqrt[5]{\frac{4 x^{2} - 1}{4 x^{2 + 1}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{\frac{4 x^{2} - 1}{4 x^{2 + 1}}}$ como ${(\frac{4 x^{2} - 1}{4 x^{2 + 1}})}^{\frac{1}{5}}$ .

$\ln ({(\frac{4 x^{2} - 1}{4 x^{2 + 1}})}^{\frac{1}{5}})$

Paso 2

Suma $2$ y $1$ .

$\ln ({(\frac{4 x^{2} - 1}{4 x^{3}})}^{\frac{1}{5}})$

Paso 3

Expande $\ln ({(\frac{4 x^{2} - 1}{4 x^{3}})}^{\frac{1}{5}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{5}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} \ln (\frac{4 x^{2} - 1}{4 x^{3}})$

Paso 4

Reescribe $\ln (\frac{4 x^{2} - 1}{4 x^{3}})$ como $\ln (4 x^{2} - 1) - \ln (4 x^{3})$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4 x^{2} - 1) - \ln (4 x^{3}))$

Paso 5

Reescribe $\ln (4 x^{3})$ como $\ln (4) + \ln (x^{3})$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4 x^{2} - 1) - (\ln (4) + \ln (x^{3})))$

Paso 6

Expande $\ln (x^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} (\ln (4 x^{2} - 1) - (\ln (4) + 3 \ln (x)))$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4 x^{2} - 1) - (\ln (2^{2}) + 3 \ln (x)))$

Paso 7.1.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} (\ln (4 x^{2} - 1) - (2 \ln (2) + 3 \ln (x)))$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{5} (\ln (4 x^{2} - 1) - (2 \ln (2)) - (3 \ln (x)))$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4 x^{2} - 1) - 2 \ln (2) - (3 \ln (x)))$

Paso 7.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4 x^{2} - 1) - 2 \ln (2) - 3 \ln (x))$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{5} \ln (4 x^{2} - 1) + \frac{1}{5} (- 2 \ln (2)) + \frac{1}{5} (- 3 \ln (x))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $\ln (4 x^{2} - 1)$ .

$\frac{\ln (4 x^{2} - 1)}{5} + \frac{1}{5} (- 2 \ln (2)) + \frac{1}{5} (- 3 \ln (x))$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{5} (- 2 \ln (2))$ .

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Paso 9.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\ln (4 x^{2} - 1)}{5} + \frac{- 2}{5} \ln (2) + \frac{1}{5} (- 3 \ln (x))$

Paso 9.2.2

Combina $\frac{- 2}{5}$ y $\ln (2)$ .

$\frac{\ln (4 x^{2} - 1)}{5} + \frac{- 2 \ln (2)}{5} + \frac{1}{5} (- 3 \ln (x))$

Paso 9.3

Multiplica $\frac{1}{5} (- 3 \ln (x))$ .

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Paso 9.3.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\ln (4 x^{2} - 1)}{5} + \frac{- 2 \ln (2)}{5} + \frac{- 3}{5} \ln (x)$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{- 3}{5}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (4 x^{2} - 1)}{5} + \frac{- 2 \ln (2)}{5} + \frac{- 3 \ln (x)}{5}$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\ln (4 x^{2} - 1)}{5} - \frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{- 3 \ln (x)}{5}$

Paso 10.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\ln (4 x^{2} - 1)}{5} - \frac{2 \ln (2)}{5} - \frac{3 \ln (x)}{5}$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (4 x^{2} - 1) - 2 \ln (2)}{5} - \frac{3 \ln (x)}{5}$