Precálculo Ejemplos

$\log (\sqrt{x \sqrt{y^{3} \sqrt{z^{5}}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{z^{5}}$ como $z^{\frac{5}{2}}$ .

$\log (\sqrt{x \sqrt{y^{3} z^{\frac{5}{2}}}})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y^{3} z^{\frac{5}{2}}}$ como ${(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (\sqrt{x {(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x {(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x {(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log ({(x {(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4

Expande $\log ({(x {(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \log (x {(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5

Reescribe $\log (x {(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ como $\log (x) + \log ({(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \log ({(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 6

Expande $\log ({(y^{3} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} \log (y^{3} z^{\frac{5}{2}}))$

Paso 7

Reescribe $\log (y^{3} z^{\frac{5}{2}})$ como $\log (y^{3}) + \log (z^{\frac{5}{2}})$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} (\log (y^{3}) + \log (z^{\frac{5}{2}})))$

Paso 8

Expande $\log (y^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} (3 \log (y) + \log (z^{\frac{5}{2}})))$

Paso 9

Expande $\log (z^{\frac{5}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{5}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} (3 \log (y) + \frac{5}{2} \log (z)))$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Combina $\frac{5}{2}$ y $\log (z)$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} (3 \log (y) + \frac{5 \log (z)}{2}))$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} (3 \log (y)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{2})$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{2} (3 \log (y))$ .

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Paso 10.3.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{3}{2} \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{2})$

Paso 10.3.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $\log (y)$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{2})$

Paso 10.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{2}$ .

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Paso 10.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5 \log (z)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{5 \log (z)}{2 \cdot 2})$

Paso 10.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{5 \log (z)}{4})$

Paso 11

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{4}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log (x)$ .

$\frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{4}$

Paso 12.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \log (y)}{2}$ .

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Paso 12.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 \log (y)}{2}$ .

$\frac{\log (x)}{2} + \frac{3 \log (y)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{4}$

Paso 12.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\log (x)}{2} + \frac{3 \log (y)}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{4}$

Paso 12.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{4}$ .

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Paso 12.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5 \log (z)}{4}$ .

$\frac{\log (x)}{2} + \frac{3 \log (y)}{4} + \frac{5 \log (z)}{2 \cdot 4}$

Paso 12.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{\log (x)}{2} + \frac{3 \log (y)}{4} + \frac{5 \log (z)}{8}$