Precálculo Ejemplos

$\log (\sqrt[3]{\frac{x + 2}{x^{4} (x^{2} + 4)}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{\frac{x + 2}{x^{4} (x^{2} + 4)}}$ como ${(\frac{x + 2}{x^{4} (x^{2} + 4)})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log ({(\frac{x + 2}{x^{4} (x^{2} + 4)})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 2

Expande $\log ({(\frac{x + 2}{x^{4} (x^{2} + 4)})}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} \log (\frac{x + 2}{x^{4} (x^{2} + 4)})$

Paso 3

Reescribe $\log (\frac{x + 2}{x^{4} (x^{2} + 4)})$ como $\log (x + 2) - \log (x^{4} (x^{2} + 4))$ .

$\frac{1}{3} (\log (x + 2) - \log (x^{4} (x^{2} + 4)))$

Paso 4

Reescribe $\log (x^{4} (x^{2} + 4))$ como $\log (x^{4}) + \log (x^{2} + 4)$ .

$\frac{1}{3} (\log (x + 2) - (\log (x^{4}) + \log (x^{2} + 4)))$

Paso 5

Expande $\log (x^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (\log (x + 2) - (4 \log (x) + \log (x^{2} + 4)))$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (\log (x + 2) - (4 \log (x)) - \log (x^{2} + 4))$

Paso 6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\log (x + 2) - 4 \log (x) - \log (x^{2} + 4))$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} \log (x + 2) + \frac{1}{3} (- 4 \log (x)) + \frac{1}{3} (- \log (x^{2} + 4))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log (x + 2)$ .

$\frac{\log (x + 2)}{3} + \frac{1}{3} (- 4 \log (x)) + \frac{1}{3} (- \log (x^{2} + 4))$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{3} (- 4 \log (x))$ .

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Paso 8.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\log (x + 2)}{3} + \frac{- 4}{3} \log (x) + \frac{1}{3} (- \log (x^{2} + 4))$

Paso 8.2.2

Combina $\frac{- 4}{3}$ y $\log (x)$ .

$\frac{\log (x + 2)}{3} + \frac{- 4 \log (x)}{3} + \frac{1}{3} (- \log (x^{2} + 4))$

Paso 8.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log (x^{2} + 4)$ .

$\frac{\log (x + 2)}{3} + \frac{- 4 \log (x)}{3} - \frac{\log (x^{2} + 4)}{3}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\log (x + 2)}{3} - \frac{4 \log (x)}{3} - \frac{\log (x^{2} + 4)}{3}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log (x + 2) - 4 \log (x)}{3} - \frac{\log (x^{2} + 4)}{3}$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log (x + 2) - 4 \log (x) - \log (x^{2} + 4)}{3}$