Precálculo Ejemplos

$\log (\frac{10 x^{4} \sqrt[3]{7 - x}}{3 {(x + 8)}^{2}})$

Paso 1

Reescribe $\log (\frac{10 x^{4} \sqrt[3]{7 - x}}{3 {(x + 8)}^{2}})$ como $\log (10 x^{4} \sqrt[3]{7 - x}) - \log (3 {(x + 8)}^{2})$ .

$\log (10 x^{4} \sqrt[3]{7 - x}) - \log (3 {(x + 8)}^{2})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{7 - x}$ como ${(7 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log (10 x^{4} {(7 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (3 {(x + 8)}^{2})$

Paso 3

Reescribe $\log (10 x^{4} {(7 - x)}^{\frac{1}{3}})$ como $\log (10 x^{4}) + \log ({(7 - x)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\log (10 x^{4}) + \log ({(7 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (3 {(x + 8)}^{2})$

Paso 4

Reescribe $\log (10 x^{4})$ como $\log (10) + \log (x^{4})$ .

$\log (10) + \log (x^{4}) + \log ({(7 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (3 {(x + 8)}^{2})$

Paso 5

Expande $\log (x^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\log (10) + 4 \log (x) + \log ({(7 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (3 {(x + 8)}^{2})$

Paso 6

Expande $\log ({(7 - x)}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\log (10) + 4 \log (x) + \frac{1}{3} \log (7 - x) - \log (3 {(x + 8)}^{2})$

Paso 7

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$1 + 4 \log (x) + \frac{1}{3} \log (7 - x) - \log (3 {(x + 8)}^{2})$

Paso 8

Reescribe $\log (3 {(x + 8)}^{2})$ como $\log (3) + \log ({(x + 8)}^{2})$ .

$1 + 4 \log (x) + \frac{1}{3} \log (7 - x) - (\log (3) + \log ({(x + 8)}^{2}))$

Paso 9

Expande $\log ({(x + 8)}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$1 + 4 \log (x) + \frac{1}{3} \log (7 - x) - (\log (3) + 2 \log (x + 8))$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log (7 - x)$ .

$1 + 4 \log (x) + \frac{\log (7 - x)}{3} - (\log (3) + 2 \log (x + 8))$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + 4 \log (x) + \frac{\log (7 - x)}{3} - \log (3) - (2 \log (x + 8))$

Paso 10.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 + 4 \log (x) + \frac{\log (7 - x)}{3} - \log (3) - 2 \log (x + 8)$

Paso 11

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$4 \log (x) + \frac{3}{3} + \frac{\log (7 - x)}{3} - \log (3) - 2 \log (x + 8)$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \log (x) + \frac{3 + \log (7 - x)}{3} - \log (3) - 2 \log (x + 8)$

Paso 13

Para escribir $- 2 \log (x + 8)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 \log (x) + \frac{3 + \log (7 - x)}{3} - 2 \log (x + 8) \cdot \frac{3}{3} - \log (3)$

Paso 14

Combina $- 2 \log (x + 8)$ y $\frac{3}{3}$ .

$4 \log (x) + \frac{3 + \log (7 - x)}{3} + \frac{- 2 \log (x + 8) \cdot 3}{3} - \log (3)$

Paso 15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \log (x) + \frac{3 + \log (7 - x) - 2 \log (x + 8) \cdot 3}{3} - \log (3)$

Paso 16

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$4 \log (x) + \frac{3 + \log (7 - x) - 6 \log (x + 8)}{3} - \log (3)$