Precálculo Ejemplos

$\log (\frac{x^{4} {(7 - x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x^{2} + x + 1}})$

Paso 1

Reescribe $\log (\frac{x^{4} {(7 - x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x^{2} + x + 1}})$ como $\log (x^{4} {(7 - x)}^{\frac{2}{3}}) - \log (\sqrt{x^{2} + x + 1})$ .

$\log (x^{4} {(7 - x)}^{\frac{2}{3}}) - \log (\sqrt{x^{2} + x + 1})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + x + 1}$ como ${(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (x^{4} {(7 - x)}^{\frac{2}{3}}) - \log ({(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Expande $\log ({(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\log (x^{4} {(7 - x)}^{\frac{2}{3}}) - (\frac{1}{2} \log (x^{2} + x + 1))$

Paso 4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log (x^{2} + x + 1)$ .

$\log (x^{4} {(7 - x)}^{\frac{2}{3}}) - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 5

Reescribe $\log (x^{4} {(7 - x)}^{\frac{2}{3}})$ como $\log (x^{4}) + \log ({(7 - x)}^{\frac{2}{3}})$ .

$\log (x^{4}) + \log ({(7 - x)}^{\frac{2}{3}}) - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 6

Expande $\log (x^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$4 \log (x) + \log ({(7 - x)}^{\frac{2}{3}}) - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 7

Expande $\log ({(7 - x)}^{\frac{2}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{2}{3}$ fuera del logaritmo.

$4 \log (x) + \frac{2}{3} \log (7 - x) - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 8

Combina $\frac{2}{3}$ y $\log (7 - x)$ .

$4 \log (x) + \frac{2 \log (7 - x)}{3} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 9

Para escribir $4 \log (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 \log (x) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \log (7 - x)}{3} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 10

Combina $4 \log (x)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \log (x) \cdot 3}{3} + \frac{2 \log (7 - x)}{3} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \log (x) \cdot 3 + 2 \log (7 - x)}{3} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $4 \log (x) \cdot 3 + 2 \log (7 - x)$ .

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Paso 12.1.1

Factoriza $2$ de $4 \log (x) \cdot 3$ .

$\frac{2 (2 \log (x) \cdot 3) + 2 \log (7 - x)}{3} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 12.1.2

Factoriza $2$ de $2 \log (7 - x)$ .

$\frac{2 (2 \log (x) \cdot 3) + 2 (\log (7 - x))}{3} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 12.1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 \log (x) \cdot 3) + 2 (\log (7 - x))$ .

$\frac{2 (2 \log (x) \cdot 3 + \log (7 - x))}{3} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 12.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 (6 \log (x) + \log (7 - x))}{3} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 13

Para escribir $\frac{2 (6 \log (x) + \log (7 - x))}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (6 \log (x) + \log (7 - x))}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$

Paso 14

Para escribir $- \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (6 \log (x) + \log (7 - x))}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 15

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.1

Multiplica $\frac{2 (6 \log (x) + \log (7 - x))}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (6 \log (x) + \log (7 - x)) \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 15.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 (6 \log (x) + \log (7 - x)) \cdot 2}{6} - \frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 15.3

Multiplica $\frac{\log (x^{2} + x + 1)}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (6 \log (x) + \log (7 - x)) \cdot 2}{6} - \frac{\log (x^{2} + x + 1) \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Paso 15.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 (6 \log (x) + \log (7 - x)) \cdot 2}{6} - \frac{\log (x^{2} + x + 1) \cdot 3}{6}$

Paso 16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (6 \log (x) + \log (7 - x)) \cdot 2 - \log (x^{2} + x + 1) \cdot 3}{6}$

Paso 17

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (6 \log (x)) + 2 \log (7 - x)) \cdot 2 - \log (x^{2} + x + 1) \cdot 3}{6}$

Paso 17.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{(12 \log (x) + 2 \log (7 - x)) \cdot 2 - \log (x^{2} + x + 1) \cdot 3}{6}$

Paso 17.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 \log (x) \cdot 2 + 2 \log (7 - x) \cdot 2 - \log (x^{2} + x + 1) \cdot 3}{6}$

Paso 17.4

Multiplica $2$ por $12$ .

$\frac{24 \log (x) + 2 \log (7 - x) \cdot 2 - \log (x^{2} + x + 1) \cdot 3}{6}$

Paso 17.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{24 \log (x) + 4 \log (7 - x) - \log (x^{2} + x + 1) \cdot 3}{6}$

Paso 17.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{24 \log (x) + 4 \log (7 - x) - 3 \log (x^{2} + x + 1)}{6}$