Precálculo Ejemplos

$\log_{b} (\sqrt{\frac{x y^{3}}{z^{3}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x y^{3}}{z^{3}}}$ como ${(\frac{x y^{3}}{z^{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x y^{3}}{z^{3}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Expande $\log_{b} ({(\frac{x y^{3}}{z^{3}})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{b} (\frac{x y^{3}}{z^{3}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{b} (\frac{x y^{3}}{z^{3}})$ como $\log_{b} (x y^{3}) - \log_{b} (z^{3})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{b} (x y^{3}) - \log_{b} (z^{3}))$

Paso 4

Expande $\log_{b} (z^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log_{b} (x y^{3}) - (3 \log_{b} (z)))$

Paso 5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\log_{b} (x y^{3}) - 3 \log_{b} (z))$

Paso 6

Reescribe $\log_{b} (x y^{3})$ como $\log_{b} (x) + \log_{b} (y^{3})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{b} (x) + \log_{b} (y^{3}) - 3 \log_{b} (z))$

Paso 7

Expande $\log_{b} (y^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log_{b} (x) + 3 \log_{b} (y) - 3 \log_{b} (z))$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \log_{b} (x) + \frac{1}{2} (3 \log_{b} (y)) + \frac{1}{2} (- 3 \log_{b} (z))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{b} (x)$ .

$\frac{\log_{b} (x)}{2} + \frac{1}{2} (3 \log_{b} (y)) + \frac{1}{2} (- 3 \log_{b} (z))$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{2} (3 \log_{b} (y))$ .

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Paso 9.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log_{b} (x)}{2} + \frac{3}{2} \log_{b} (y) + \frac{1}{2} (- 3 \log_{b} (z))$

Paso 9.2.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $\log_{b} (y)$ .

$\frac{\log_{b} (x)}{2} + \frac{3 \log_{b} (y)}{2} + \frac{1}{2} (- 3 \log_{b} (z))$

Paso 9.3

Multiplica $\frac{1}{2} (- 3 \log_{b} (z))$ .

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Paso 9.3.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log_{b} (x)}{2} + \frac{3 \log_{b} (y)}{2} + \frac{- 3}{2} \log_{b} (z)$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{- 3}{2}$ y $\log_{b} (z)$ .

$\frac{\log_{b} (x)}{2} + \frac{3 \log_{b} (y)}{2} + \frac{- 3 \log_{b} (z)}{2}$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\log_{b} (x)}{2} + \frac{3 \log_{b} (y)}{2} - \frac{3 \log_{b} (z)}{2}$