Precálculo Ejemplos

$\log_{b} (\sqrt[4]{\frac{m^{16} n^{8}}{b^{7}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{\frac{m^{16} n^{8}}{b^{7}}}$ como ${(\frac{m^{16} n^{8}}{b^{7}})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{m^{16} n^{8}}{b^{7}})}^{\frac{1}{4}})$

Paso 2

Expande $\log_{b} ({(\frac{m^{16} n^{8}}{b^{7}})}^{\frac{1}{4}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{4}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{4} \log_{b} (\frac{m^{16} n^{8}}{b^{7}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{b} (\frac{m^{16} n^{8}}{b^{7}})$ como $\log_{b} (m^{16} n^{8}) - \log_{b} (b^{7})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{b} (m^{16} n^{8}) - \log_{b} (b^{7}))$

Paso 4

Expande $\log_{b} (b^{7})$ ; para ello, mueve $7$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{4} (\log_{b} (m^{16} n^{8}) - (7 \log_{b} (b)))$

Paso 5

El logaritmo en base $b$ de $b$ es $1$ .

$\frac{1}{4} (\log_{b} (m^{16} n^{8}) - (7 \cdot 1))$

Paso 6

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\log_{b} (m^{16} n^{8}) - 1 \cdot 7)$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{1}{4} (\log_{b} (m^{16} n^{8}) - 7)$

Paso 8

Reescribe $\log_{b} (m^{16} n^{8})$ como $\log_{b} (m^{16}) + \log_{b} (n^{8})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{b} (m^{16}) + \log_{b} (n^{8}) - 7)$

Paso 9

Expande $\log_{b} (m^{16})$ ; para ello, mueve $16$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{4} (16 \log_{b} (m) + \log_{b} (n^{8}) - 7)$

Paso 10

Expande $\log_{b} (n^{8})$ ; para ello, mueve $8$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{4} (16 \log_{b} (m) + 8 \log_{b} (n) - 7)$

Paso 11

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (16 \log_{b} (m)) + \frac{1}{4} (8 \log_{b} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.1.1

Factoriza $4$ de $16 \log_{b} (m)$ .

$\frac{1}{4} (4 (4 \log_{b} (m))) + \frac{1}{4} (8 \log_{b} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 12.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (4 (4 \log_{b} (m))) + \frac{1}{4} (8 \log_{b} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 12.1.3

Reescribe la expresión.

$4 \log_{b} (m) + \frac{1}{4} (8 \log_{b} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 12.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $4$ de $8 \log_{b} (n)$ .

$4 \log_{b} (m) + \frac{1}{4} (4 (2 \log_{b} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común.

$4 \log_{b} (m) + \frac{1}{4} (4 (2 \log_{b} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 12.2.3

Reescribe la expresión.

$4 \log_{b} (m) + 2 \log_{b} (n) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 12.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 7$ .

$4 \log_{b} (m) + 2 \log_{b} (n) + \frac{- 7}{4}$

Paso 13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \log_{b} (m) + 2 \log_{b} (n) - \frac{7}{4}$