Precálculo Ejemplos

$\log_{b} (\sqrt[3]{\frac{x^{5} y^{8}}{z^{2}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{\frac{x^{5} y^{8}}{z^{2}}}$ como ${(\frac{x^{5} y^{8}}{z^{2}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{5} y^{8}}{z^{2}})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 2

Expande $\log_{b} ({(\frac{x^{5} y^{8}}{z^{2}})}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} \log_{b} (\frac{x^{5} y^{8}}{z^{2}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{b} (\frac{x^{5} y^{8}}{z^{2}})$ como $\log_{b} (x^{5} y^{8}) - \log_{b} (z^{2})$ .

$\frac{1}{3} (\log_{b} (x^{5} y^{8}) - \log_{b} (z^{2}))$

Paso 4

Expande $\log_{b} (z^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (\log_{b} (x^{5} y^{8}) - (2 \log_{b} (z)))$

Paso 5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\log_{b} (x^{5} y^{8}) - 2 \log_{b} (z))$

Paso 6

Reescribe $\log_{b} (x^{5} y^{8})$ como $\log_{b} (x^{5}) + \log_{b} (y^{8})$ .

$\frac{1}{3} (\log_{b} (x^{5}) + \log_{b} (y^{8}) - 2 \log_{b} (z))$

Paso 7

Expande $\log_{b} (x^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (5 \log_{b} (x) + \log_{b} (y^{8}) - 2 \log_{b} (z))$

Paso 8

Expande $\log_{b} (y^{8})$ ; para ello, mueve $8$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (5 \log_{b} (x) + 8 \log_{b} (y) - 2 \log_{b} (z))$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (5 \log_{b} (x)) + \frac{1}{3} (8 \log_{b} (y)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{b} (z))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{3} (5 \log_{b} (x))$ .

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Paso 10.1.1

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3} \log_{b} (x) + \frac{1}{3} (8 \log_{b} (y)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{b} (z))$

Paso 10.1.2

Combina $\frac{5}{3}$ y $\log_{b} (x)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{3} + \frac{1}{3} (8 \log_{b} (y)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{b} (z))$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{1}{3} (8 \log_{b} (y))$ .

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Paso 10.2.1

Combina $8$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{3} + \frac{8}{3} \log_{b} (y) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{b} (z))$

Paso 10.2.2

Combina $\frac{8}{3}$ y $\log_{b} (y)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{3} + \frac{8 \log_{b} (y)}{3} + \frac{1}{3} (- 2 \log_{b} (z))$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{3} (- 2 \log_{b} (z))$ .

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Paso 10.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{3} + \frac{8 \log_{b} (y)}{3} + \frac{- 2}{3} \log_{b} (z)$

Paso 10.3.2

Combina $\frac{- 2}{3}$ y $\log_{b} (z)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{3} + \frac{8 \log_{b} (y)}{3} + \frac{- 2 \log_{b} (z)}{3}$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{3} + \frac{8 \log_{b} (y)}{3} - \frac{2 \log_{b} (z)}{3}$